2027학년도 대비 한국항공대학교 공학계열 수리논술 해설집

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 해설집

2026학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2026 공학계열 1번 문항 1-1 · 1-2 해설 (30점)

【2026학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (15점) / 1-2 (15점)]

[정답 1-1] (총 15점) — (1) \(a\)의 값 (5점) / (2) \(f'(1)\)의 값 (5점) / (3) \(f(x)\)의 증가 구간 (5점)

(1) \(a\)의 값 (5점): \(x \ne 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 분자를 인수분해하면 \(x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = (x-1)^2(x-2)\), 분모를 인수분해하면 \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) [1점].
따라서 \(x \ne 1\)에서 \(f(x) = \dfrac{(x-1)^2(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{(x-1)(x-2)}{x+1} = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x+1}\) [2점].
\(x=1\)에서 미분가능하므로 연속이다. \(a = \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x-2)}{x+1} = 0\)이므로 \(a = 0\)이다 [2점].
(2) \(f'(1)\)의 값 (5점): (1)에 의해 \(x > 0\)일 때 \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x+1}\)이다 [1점]. 분자를 \(N(x) = x^2 - 3x + 2\), 분모를 \(D(x) = x + 1\)이라 하면, \[ \begin{aligned} &f'(x) = \frac{N'(x)D(x) - N(x)D'(x)}{\{D(x)\}^2} = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x+2)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 5}{(x+1)^2} \quad [2\text{점}] \\ &f'(1) = \frac{1+2-5}{(1+1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] 미분계수의 정의 이용:
\(f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\dfrac{\Delta x(\Delta x - 1)}{\Delta x + 2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta x - 1}{\Delta x + 2} = -\dfrac{1}{2}\) [2점]

(3) 함수 \(f(x)\)가 증가하는 구간 (5점): \(f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 5}{(x+1)^2} = 0\)에서 \(x = \sqrt{6} - 1\) (\(x > 0\)) [2점]. 증감표를 만들면 다음과 같다:

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{6}-1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\((2)\)	\(\searrow\)	\(2\sqrt{6}-5\)	\(\nearrow\)

따라서 함수 \(f(x)\)는 구간 \([\sqrt{6} - 1, \infty)\)에서 증가한다 [3점].
답: (1) \(a = 0\) (2) \(f'(1) = -\dfrac{1}{2}\) (3) \([\sqrt{6} - 1, \infty)\)

[정답 1-2] (총 15점) — (1) \(dy/dx\) (5점) / (2) 속력 최대 시각 \(t\) 및 위치 (6점) / (3) 이동 거리 (4점)

\(x = (1 + \cos 2t)\cos 2t = \cos 2t + \cos^2 2t\), \(y = (1 + \cos 2t)\sin 2t = \sin 2t + \cos 2t\sin 2t\).
(1) \(\dfrac{dy}{dx}\)를 \(t\)에 대한 식 (5점): \(x(t), y(t)\)를 \(t\)로 미분하면 \[ \begin{aligned} &\frac{dx}{dt} = -2\sin 2t - 4\sin 2t\cos 2t = -2\sin 2t - 2\sin 4t, \qquad \frac{dy}{dt} = 2\cos 2t - 2\sin^2 2t + 2\cos^2 2t = 2\cos 2t + 2\cos 4t \quad [3\text{점}] \\ &\therefore \ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos 2t + 2\cos 4t}{-2\sin 2t - 2\sin 4t} = -\frac{\cos 2t + \cos 4t}{\sin 2t + \sin 4t} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] (2) 점 \(\mathrm{P}\)의 속력 \(v\)가 최대가 되는 시각 \(t\) 및 위치 (6점): \[ \begin{aligned} &v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{4\sin^2 2t + 8\sin 2t\sin 4t + 4\sin^2 4t + 4\cos^2 2t + 8\cos 2t\cos 4t + 4\cos^2 4t} \\ &\quad = 2\sqrt{2 + 2(\sin 2t\sin 4t + \cos 2t\cos 4t)} = 2\sqrt{2 + 2\cos 2t} \\ &\quad = (2\sqrt{2})\sqrt{2\cos^2 t} = -4\cos t \quad \left(\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{3\pi}{2}\right) \cdots \text{①} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 식 ①에서 속력 \(v\)가 최대인 시각은 \(t = \pi\) [2점]이고, 이때 점 \(\mathrm{P}\)의 위치는 \((2, 0)\)이다 [1점].
(3) 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리 (4점): \(\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{3\pi}{2}\)에서 \(|\cos t| = -\cos t\)이므로
\(s = 4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos t|\,dt = 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} (-\cos t)\,dt\) [2점] \(= -4\Big[\sin t\Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = -4\{(-1) - 1\} = 8\) [2점].
답: (1) \(-\dfrac{\cos 2t + \cos 4t}{\sin 2t + \sin 4t}\) (2) \(t = \pi\), 위치 \((2, 0)\) (3) \(8\)

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2026학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2026 공학계열 1번 문항 1-3 해설 (20점)

【2026학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3) [배점 : 1-3 (20점)]

[정답 1-3] (1) \(I(2)\)의 값 (4점)

\(u = 1 + 2\cos\theta\)로 치환하면, \(\dfrac{du}{d\theta} = -2\sin\theta\)이고, \(\theta = 0\)일 때 \(u = 3\), \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)일 때 \(u = 1\)이므로 [1점] \[ \begin{aligned} &I(2) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + 2\cos\theta}\,d\theta = \int_3^1 \frac{-1}{2u}\,du = \frac{1}{2}\int_1^3 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\Big[\ln|u|\Big]_1^3 = \frac{\ln 3}{2} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(I(2) = \dfrac{\ln 3}{2}\)

[정답 1-3] (2) \(x \ge 0\)에서 함수 \(I(x)\)가 연속인지 불연속인지 조사 (8점)

\(x = 0\)일 때, \(I(0) = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\,d\theta = \Big[-\cos\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1\) [1점].
\(x > 0\)일 때, \(u = 1 + x\cos\theta\)로 치환하면 \(\dfrac{du}{d\theta} = -x\sin\theta\)이고, \(\theta = 0\)일 때 \(u = x+1\), \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)일 때 \(u = 1\)이므로 \[ \begin{aligned} &I(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + x\cos\theta}\,d\theta = -\frac{1}{x}\int_{x+1}^1 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{x}\int_1^{x+1} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{x}\Big[\ln|u|\Big]_1^{x+1} = \frac{\ln(x+1)}{x} \quad (x > 0) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 \(I(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ \dfrac{\ln(x+1)}{x} & (x > 0) \end{cases}\)이고, \(x > 0\)이면 \(\ln(x+1)\)과 \(\dfrac{1}{x}\)는 연속이므로 \(I(x)\)는 연속이다 [2점].
또한 \(x = 0\)일 때, \(\lim_{x \to 0+} I(x) = \lim_{x \to 0+} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 = I(0)\)이므로, \(I(x)\)는 \(x \ge 0\)에서 연속이다 [2점].
답: \(I(x)\)는 \(x \ge 0\)에서 연속이다.

[정답 1-3] (3) \(x \ge 0\)에서 함수 \(I(x)\)의 증가와 감소를 조사 (8점)

\(x > 0\)에서 \(I(x) = \dfrac{\ln(x+1)}{x}\)를 미분하면: \[ \begin{aligned} &I'(x) = -\frac{\ln(x+1)}{x^2} + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x+1} = \frac{x - (x+1)\ln(x+1)}{x^2(x+1)} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] \(I'(x)\)의 분자를 \(N(x) = x - (x+1)\ln(x+1)\), 분모를 \(D(x) = x^2(x+1)\)라 하자. \(x > 0\)에서 \(D(x) > 0\)이므로 \(I'(x)\)의 부호와 \(N(x)\)의 부호는 같다.
\(N(0) = 0\)이고, \(N'(x) = 1 - \ln(x+1) - 1 = -\ln(x+1)\)이므로 \(x > 0\)일 때 \(N'(x) < 0\), 즉 \(x > 0\)에서 \(N(x) < 0\)이다 [3점].
\(x > 0\)일 때 \(I'(x) < 0\)이고, \(x \ge 0\)일 때 \(I(x)\)는 연속이므로 제시문 가)에 의해 \(x \ge 0\)에서 \(I(x)\)는 감소한다 [2점].

[다른 풀이] 임의의 실수 \(x_1 < x_2\) (\(x_1, x_2 \in [0, \infty)\))와 \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\cos\theta \ge 0, \ \sin\theta \ge 0\)이므로 \(x_1\cos\theta \le x_2\cos\theta\) [2점].
따라서 \(\dfrac{\sin\theta}{1 + x_1\cos\theta} \ge \dfrac{\sin\theta}{1 + x_2\cos\theta}\) (양 끝점 제외 시 부등호 성립) [2점]이므로
\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + x_1\cos\theta}\,d\theta > \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + x_2\cos\theta}\,d\theta\)가 성립하여 \(I(x)\)는 감소한다 [4점].

답: \(x \ge 0\)에서 함수 \(I(x)\)는 감소한다.

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2026학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 1]

2026 공학계열 1번 문항 1 채점 기준 (50점)

【2026학년도 문제 1 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 86p~87p)】

하위문항	채점기준	배점
1-1 (15점)	함수의 분모와 분자를 인수분해하여 식을 정리할 수 있다.	3
	함수의 연속성을 이용하여 극한값을 계산하고, 상수 \(a\)의 값을 도출할 수 있다.	2
	몫의 미분법을 이용하여 도함수 \(f'(x)\)를 올바르게 구할 수 있다.	3
	\(x = 1\)에서의 미분계수 \(f'(1)\)의 값을 계산할 수 있다.	2
	도함수가 \(0\)이 되는 \(x\)값을 구하고, 부호 변화를 조사할 수 있다.	2
	증감표를 통해 함수가 증가하는 구간을 정확히 서술할 수 있다.	3
1-2 (15점)	매개변수로 나타내어진 함수를 미분하여 \(dx/dt, \ dy/dt\)를 각각 구할 수 있다.	3
	\(dy/dx\)를 \(t\)에 대한 식으로 올바르게 표현할 수 있다.	2
	삼각함수의 덧셈정리 등을 활용하여 속력을 나타내는 식을 정리할 수 있다.	3
	속력이 최대가 되는 시각 \(t\)를 구하고, 그때의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 도출할 수 있다.	3
	평면 위를 움직이는 점의 이동 거리 공식을 이용하여 정적분 식을 세울 수 있다.	2
	정적분을 정확히 계산하여 이동 거리를 도출할 수 있다.	2
1-3 (20점)	치환적분법을 적용하여 변수를 치환하고 적분 구간을 올바르게 설정할 수 있다.	1
	정적분을 계산하여 \(I(2)\)의 값을 정확히 도출할 수 있다.	3
	적분을 통해 \(x = 0\)일 때의 함수값과 \(x > 0\)일 때의 함수식을 각각 구할 수 있다.	4
	극한값과 함수값이 일치함을 보여 \(x \ge 0\)에서 연속임을 증명할 수 있다.	4
	함수 \(I(x)\)의 도함수를 구하고, 분자의 부호를 판별하기 위한 식을 세울 수 있다.	3
	도함수의 부호를 분석하여 \(x \ge 0\)에서 함수가 감소함을 논리적으로 설명할 수 있다.	5

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2026학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2026 공학계열 2번 문항 2-1 · 2-2 해설 (50점)

【2026학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (25점) / 2-2 (25점)]

[문제 2-1] 예시 답안 (총 25점)

(1) 코사인법칙에 의해 \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{(ar)^2 + (ar^2)^2 - a^2}{2\cdot ar \cdot ar^2} = \dfrac{r^4 + r^2 - 1}{2r^3}\) [3.5점]
(2) 코사인법칙에 의해 \(\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = \dfrac{(ar^2)^2 + a^2 - (ar)^2}{2\cdot ar^2 \cdot a} = \dfrac{r^4 - r^2 + 1}{2r^2}\) [3.5점]
(3) 사인법칙에 의해 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\)이므로 \(\dfrac{\sin B}{\sin A} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{ar}{a} = r\) [2.5점] (4) 사인법칙에 의해 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}\)이므로 \(\dfrac{\sin C}{\sin A} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{ar^2}{a} = r^2\) [2.5점]
(5) \(\sin(B-A), \ \sin A, \ \sin C\)는 순서대로 등차수열을 이루므로 \(2\sin A = \sin(B-A) + \sin C\).
삼각함수의 덧셈정리를 적용하면 \(2\sin A = \sin B\cos A - \sin A\cos B + \sin C\) [4점].
(1)~(4)의 결과를 적용하고 \(\sin A \ne 0\)으로 양변을 나누면: \[ \begin{aligned} &2 = r\frac{r^4+r^2-1}{2r^3} - \frac{r^4-r^2+1}{2r^2} + r^2 = \frac{r^4+r^2-1}{2r^2} - \frac{r^4-r^2+1}{2r^2} + r^2 \\ &\quad = 1 - \frac{1}{r^2} + r^2 \implies r^4 - r^2 - 1 = 0 \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] \(r^2 = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)인데, \(r^2 > 0\)이므로 \(r^2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) [4점].
답: (1) \(\dfrac{r^4+r^2-1}{2r^3}\) (2) \(\dfrac{r^4-r^2+1}{2r^2}\) (3) \(r\) (4) \(r^2\) (5) \(r^2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

[그림] \(\triangle\mathrm{PAB} \equiv \triangle\mathrm{QCB}\)

[문제 2-2] 예시 답안 (총 25점)

(1) \(\triangle\mathrm{PAB} \equiv \triangle\mathrm{QCB}\)이므로 \(\overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{QB}}\)이고, \(90^\circ\) 회전이므로 \(\angle\mathrm{PBQ} = 90^\circ\).
삼각형 \(\mathrm{PBQ}\)는 직각이등변삼각형이므로 \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2}\cdot\overline{\mathrm{PB}} = 8\sqrt{2}\) [4점].
(2) \(\triangle\mathrm{CPQ}\)에서 코사인법칙에 의해 (\(\overline{\mathrm{QC}} = \overline{\mathrm{PA}} = 5\)): \[ \begin{aligned} &\cos(\angle\mathrm{CPQ}) = \frac{\overline{\mathrm{PC}}^2 + \overline{\mathrm{PQ}}^2 - \overline{\mathrm{QC}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{PC}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}} \\ &\quad = \frac{13^2 + (8\sqrt{2})^2 - 5^2}{2\cdot 13\cdot 8\sqrt{2}} = \frac{136}{104\sqrt{2}} = \frac{17}{13\sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{26} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] (3) \(\angle\mathrm{CPQ} \in (0, \pi)\)이므로 \(\sin(\angle\mathrm{CPQ}) > 0\)이다.
\(\sin(\angle\mathrm{CPQ}) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{17\sqrt{2}}{26}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{98}{676}} = \dfrac{7}{13\sqrt{2}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{26}\) [5점].
(4) \(\cos(\angle\mathrm{BPC}) = \cos(\angle\mathrm{CPQ} + 45^\circ) = \cos(\angle\mathrm{CPQ})\cos 45^\circ - \sin(\angle\mathrm{CPQ})\sin 45^\circ\)
\(\quad = \dfrac{17\sqrt{2}}{26}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{7\sqrt{2}}{26}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{13}\) [5점].
(5) 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이는
\(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{PC}}^2 + \overline{\mathrm{PB}}^2 - 2\cdot\overline{\mathrm{PC}}\cdot\overline{\mathrm{PB}}\cdot\cos(\angle\mathrm{BPC}) = 13^2 + 8^2 - 2\cdot 13\cdot 8\cdot\dfrac{5}{13} = 153\) [6점].
답: (1) \(8\sqrt{2}\) (2) \(\dfrac{17\sqrt{2}}{26}\) (3) \(\dfrac{7\sqrt{2}}{26}\) (4) \(\dfrac{5}{13}\) (5) \(153\)

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2026학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 2]

2026 공학계열 2번 문항 2 채점 기준 (50점)

【2026학년도 문제 2 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 96p)】

하위문항	채점기준	배점
2-1(1)	코사인법칙을 적용하여 \(\cos A\)를 \(r\)로 표현할 수 있는가.	3.5
2-1(2)	코사인법칙을 적용하여 \(\cos B\)를 \(r\)로 표현할 수 있는가.	3.5
2-1(3)	사인법칙을 적용하여 \(\dfrac{\sin B}{\sin A}\)를 \(r\)로 표현할 수 있는가.	2.5
2-1(4)	사인법칙을 적용하여 \(\dfrac{\sin C}{\sin A}\)를 \(r\)로 표현할 수 있는가.	2.5
2-1(5)	(1)-(4)의 결과를 활용하여 \(r^2\)의 값을 구할 수 있는가.	13
2-2(1)	\(\triangle\mathrm{PAB} \equiv \triangle\mathrm{QCB}\)를 활용하여 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 값을 구할 수 있는가.	4
2-2(2)	코사인법칙을 활용하여 \(\cos(\angle\mathrm{CPQ})\)의 값을 구할 수 있는가.	5
2-2(3)	\(\sin(\angle\mathrm{CPQ})\)의 값을 계산할 수 있는가.	5
2-2(4)	\(\cos(\angle\mathrm{BPC})\)의 값을 계산할 수 있는가.	5
2-2(5)	코사인법칙을 활용하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2\)의 값을 계산할 수 있는가.	6

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2025학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2025 공학계열 1번 문항 1-1 · 1-2 해설 (18점)

【2025학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (8점) / 1-2 (10점)]

[답안 1-1] (총 8점)

이차함수 \(y = 2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n\)의 그래프가 \(x\)축과 만나므로 이차방정식 \(2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n = 0\)의 판별식을 \(D_1\)이라 하면 \[ \begin{aligned} &D_1 = \{-5(n+2)\}^2 - 4 \times 2 \times 3a_n = 25(n+2)^2 - 24a_n \ge 0 \implies a_n \le \frac{25(n+2)^2}{24} \quad \cdots \text{①} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 이차함수 \(y = 2x^2 - 5nx + 3a_n\)의 그래프는 \(x\)축과 만나지 않으므로 이차방정식 \(2x^2 - 5nx + 3a_n = 0\)의 판별식을 \(D_2\)라 하면 \[ \begin{aligned} &D_2 = (-5n)^2 - 4 \times 2 \times 3a_n = 25n^2 - 24a_n < 0 \implies a_n > \frac{25n^2}{24} \quad \cdots \text{②} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] ①과 ②에서 \(\dfrac{25n^2}{24} < a_n \le \dfrac{25(n+2)^2}{24}\)이다 [2점]. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2 > 0\)이므로 각 변을 \(n^2\)으로 나누면 \[ \begin{aligned} &\frac{25n^2}{24n^2} < \frac{a_n}{n^2} \le \frac{25(n+2)^2}{24n^2}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{25n^2}{24n^2} = \frac{25}{24}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{25(n+2)^2}{24n^2} = \frac{25}{24} \end{aligned} \] 이므로 수열의 극한의 대소 관계(제시문 가)에 의하여 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2} = \dfrac{25}{24}\)이다 [2점].
답: \(\dfrac{25}{24}\)

[답안 1-2] (총 10점) — (1) 접선의 방정식 (3점) / (2) 증감표 및 극값 (3점) / (3) \(a\)의 값의 범위 (4점)

(1) (3점): \(f(x) = (x - 5)e^x\)에서 \(f'(x) = e^x + (x - 5)e^x = (x - 4)e^x\)이므로 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((k, (k-5)e^k)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(k) = (k - 4)e^k\)이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y - (k - 5)e^k = (k - 4)e^k(x - k)\), 즉 \(y = (k - 4)e^k(x - k) + (k - 5)e^k\)이다 [3점].
(2) (3점): \(f'(x) = (x - 4)e^x\)이므로 \(f'(x) = 0\)에서 \(x = 4\)이다. 함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다:

\(x\)	\(\cdots\)	\(4\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\searrow\)	\(-e^4\)	\(\nearrow\)

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x = 4\)에서 극소이고 극솟값은 \(f(4) = -e^4\)이다 [3점].
(3) (4점): (1)에서 구한 접선이 점 \((a, 0)\)을 지나므로 \(-(k - 5)e^k = (k - 4)e^k(a - k)\)이고, \(e^k > 0\)이므로 정리하면 \[ \begin{aligned} &k^2 - (a + 5)k + 4a + 5 = 0 \quad \cdots \text{①} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 점 \((a, 0)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있으려면 접점이 두 개 존재해야 하므로 \(k\)에 대한 이차방정식 ①이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식 ①의 판별식을 \(D\)라 하면 \[ \begin{aligned} &D = \{-(a + 5)\}^2 - 4(4a + 5) = a^2 - 6a + 5 = (a - 1)(a - 5) > 0 \implies a < 1 \ \text{또는} \ a > 5 \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 답: (1) \(y = (k-4)e^k(x-k) + (k-5)e^k\) (2) 극솟값 \(-e^4\) (극댓값 없음) (3) \(a < 1\) 또는 \(a > 5\)

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2025학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2025 공학계열 1번 문항 1-3 · 1-4 해설 (32점)

【2025학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3, 1-4) [배점 : 1-3 (14점) / 1-4 (18점)]

[답안 1-3] (총 14점)

\[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{3n+2k}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3 + \frac{2k}{n}}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) \frac{2}{n} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 제시문 다)에서 \(3 + \dfrac{2k}{n} = x_k, \ \dfrac{2}{n} = \Delta x\)로 놓으면 \(a = 3, \ b = 5\)이므로 정적분으로 나타내면 \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3 + \frac{2k}{n}}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) \frac{2}{n} = \int_3^5 \frac{1}{x}f(x)\,dx = \int_3^5 \frac{\ln 3x}{x}\,dx \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] \(t = \ln 3x\)로 놓으면 \(\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x}\)이고 \(x = 3\)일 때 \(t = \ln 9\), \(x = 5\)일 때 \(t = \ln 15\)이므로 \[ \begin{aligned} &\int_3^5 \frac{\ln 3x}{x}\,dx = \int_{\ln 9}^{\ln 15} t\,dt = \left[\frac{1}{2}t^2\right]_{\ln 9}^{\ln 15} = \frac{(\ln 15)^2 - (\ln 9)^2}{2} \\ &\quad = \frac{(\ln 5 + 3\ln 3)(\ln 5 - \ln 3)}{2} = \frac{(\ln 5)^2 + 2\ln 5\ln 3 - 3(\ln 3)^2}{2} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] \(\dfrac{k}{n} = x_k, \ \dfrac{1}{n} = \Delta x\) (\(a=0, b=1\))로 놓으면 \(\displaystyle\int_0^1 \frac{2}{3+2x}f(3+2x)\,dx\)이고, \(3+2x = y\)로 치환하면 \(\displaystyle\int_3^5 \frac{\ln 3y}{y}\,dy = \frac{(\ln 15)^2 - (\ln 9)^2}{2}\)로 동일한 값을 얻는다.

답: \(\dfrac{(\ln 15)^2 - (\ln 9)^2}{2}\) (또는 \(\dfrac{(\ln 5)^2 + 2\ln 5\ln 3 - 3(\ln 3)^2}{2}\))

[답안 1-4] (총 18점) — (1) 교점의 개수 (5점) / (2) \(h'(2)\)의 값 (13점)

(1) (5점): \(x > 0\)에서 \(y = \ln x\)는 순증가 함수(\(\lim_{x\to 0+}\ln x = -\infty, \ \lim_{x\to\infty}\ln x = \infty\))이고 \(y = \dfrac{1}{2x}\)은 순감소 함수(\(\lim_{x\to 0+}\dfrac{1}{2x} = \infty, \ \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2x} = 0\))이므로 두 그래프의 교점의 개수는 \(1\)이다 [5점].
(2) (13점): 점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하면 \(f(k) = g(k)\)이고 \(f'(k) = g'(k)\)이므로 \[ \begin{aligned} &(4t^4 + 3t^2 + 1)\ln(k - t) = 3e^{2k - a} \quad \cdots \text{㉠}, \qquad \frac{4t^4 + 3t^2 + 1}{k - t} = 6e^{2k - a} \quad \cdots \text{㉡} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] ㉠, ㉡에서 \((4t^4 + 3t^2 + 1)\ln(k - t) = \dfrac{4t^4 + 3t^2 + 1}{2(k - t)}\)이고, \(t > 0\)이므로 \(4t^4 + 3t^2 + 1 > 0\)이어서 \(\ln(k - t) = \dfrac{1}{2(k - t)}\)이다 [3점].
(1)에 의해 방정식 \(\ln x = \dfrac{1}{2x}\)을 만족시키는 실수 \(x\)는 오직 하나 존재하므로 이 값을 \(\alpha\)라 하면 \(k - t = \alpha\), 즉 \(k = t + \alpha\) (㉢)이다.
㉢을 ㉡에 대입하면 \(e^{2(t + \alpha) - a} = \dfrac{4t^4 + 3t^2 + 1}{6\alpha}\)이므로 \(2(t + \alpha) - a = \ln\left(\dfrac{4t^4 + 3t^2 + 1}{6\alpha}\right)\)에서 \[ \begin{aligned} &a = h(t) = 2(t + \alpha) - \ln\left(\frac{4t^4 + 3t^2 + 1}{6\alpha}\right) \quad [4\text{점}] \\ &h'(t) = 2 - \frac{16t^3 + 6t}{4t^4 + 3t^2 + 1} \implies h'(2) = 2 - \frac{140}{77} = \frac{14}{77} = \frac{2}{11} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] ㉢을 ㉠에 대입하면 \(e^{2(t+\alpha)-a} = \dfrac{1}{3}(4t^4+3t^2+1)\ln\alpha\)에서 \(h(t) = 2(t+\alpha) - \ln\left\{\dfrac{1}{3}(4t^4+3t^2+1)\ln\alpha\right\}\)이고 미분하면 동일하게 \(h'(2) = \dfrac{2}{11}\)을 얻는다.

답: (1) \(1\) (2) \(h'(2) = \dfrac{2}{11}\)

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2025학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 1]

2025 공학계열 1번 문항 1 채점 기준 (50점)

【2025학년도 문제 1 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 87p)】

하위문항	채점기준	배점
1-1 (8점)	이차함수 \(y = 2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n\)에 대한 판별식 \(D_1 \ge 0\)을 세우고 정리할 수 있는가.	2
	이차함수 \(y = 2x^2 - 5nx + 3a_n\)에 대한 판별식 \(D_2 < 0\)을 세우고 정리할 수 있는가.	2
	위 두 식으로부터 \(\dfrac{25n^2}{24} < a_n \le \dfrac{25(n+2)^2}{24}\)를 구할 수 있는가.	2
	수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2}\)의 값을 구할 수 있는가.	2
1-2 (10점)	도함수 \(f'(x)\)를 구하여 접선의 기울기 \(f'(k)\)를 구할 수 있는가.	3
	곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((k, f(k))\)에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는가.	3
	함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내고 \(f(x)\)의 극값을 구할 수 있는가.	2
	방정식 \(k^2 - (a+5)k + 4a + 5 = 0\)의 판별식 \(D > 0\)을 이용하여 \(a\)의 값의 범위를 구할 수 있는가.	2
1-3 (14점)	급수 \(\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{3n+2k}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right)\)를 \(\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3 + \frac{2k}{n}}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) \frac{2}{n}\)로 변형할 수 있는가.	4
	정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 정적분 \(\displaystyle\int_3^5 \frac{\ln 3x}{x}\,dx\) 또는 \(\displaystyle\int_0^1 \frac{2}{3+2x}f(3+2x)\,dx\)로 고칠 수 있는가.	5
	치환적분법을 이용하여 정적분 \(\displaystyle\int_3^5 \frac{\ln 3x}{x}\,dx\)의 값을 구할 수 있는가.	5
1-4 (18점)	두 함수 \(y = \ln x\)와 \(y = \dfrac{1}{2x}\)의 그래프의 교점의 개수를 구할 수 있는가.	5
	접점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표 \(k\)에 대하여 \(f(k) = g(k)\)와 \(f'(k) = g'(k)\)로부터 두 관계식을 세울 수 있는가.	3
	위 두 식으로부터 \(\ln(k - t) = \dfrac{1}{2(k - t)}\)를 구할 수 있는가.	3
	방정식 \(\ln x = \dfrac{1}{2x}\)의 해 \(\alpha\)를 이용하여 \(h(t)\)를 구할 수 있는가.	4
	\(h'(2)\)의 값을 구할 수 있는가.	3

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2025학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2025 공학계열 2번 문항 2-1 · 2-2 해설 (50점)

【2025학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (21점) / 2-2 (29점)]

[답안 2-1] (총 21점)

주어진 세 등식에 \(x = 2, \ 3, \ 4\)를 대입하면 \(f(2) = 4, \ f(3) = 9, \ f(4) = 16\)이므로 [3점] 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차식 \(f(x)\)는 \[ \begin{aligned} &f(x) = a(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x^2 \end{aligned} \] 이다. 첫 번째 등식에 \(x = 4\)를 대입하면 \(f(4) - 20 + 6 = 16 - 14 = 2 = 2a(4 - \alpha)\)에서 \(\alpha = 4 - \dfrac{1}{a}\) [3점].
두 번째 등식에 \(x = 3\)을 대입하면 \(f(3) - 18 + 8 = 9 - 10 = -1 = -a(3 - \beta)\)에서 \(\beta = 3 - \dfrac{1}{a}\) [3점].
세 번째 등식에 \(x = 2\)를 대입하면 \(f(2) - 14 + 12 = 4 - 2 = 2 = 2a(2 - \gamma)\)에서 \(\gamma = 2 - \dfrac{1}{a}\) [3점].
따라서 \(\alpha + \beta + \gamma = 24 = 9 - \dfrac{3}{a}\)이므로 \(a = -\dfrac{1}{5}\)이다 [5점].
이로부터 \(f(x) = -\dfrac{1}{5}(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x^2\)이므로 \(f(0) = -\dfrac{1}{5}(-2)(-3)(-4) + 0^2 = \dfrac{24}{5}\)이다 [4점].
답: \(f(0) = \dfrac{24}{5}\)

[그림] \(\triangle\mathrm{ABC}\)와 내접원 \(O\)

[답안 2-2] (총 29점) — (1) 각의 상등 (3점) / (2) \(\overline{\mathrm{ZP}}=1\) 증명 (10점) / (3) \(\overline{\mathrm{WQ}}\)의 값 (16점)

(1) (3점): 접선과 반지름은 수직이므로 \(\angle\mathrm{RYP} = \angle\mathrm{RXB} = 90^\circ\)이고, \(\triangle\mathrm{RXY}\)는 \(\overline{\mathrm{RX}} = \overline{\mathrm{RY}}\)인 이등변삼각형이므로 \(\angle\mathrm{RYX} = \angle\mathrm{RXY}\)이다.
따라서 \(\angle\mathrm{PYX} = 90^\circ - \angle\mathrm{RYX} = 90^\circ - \angle\mathrm{RXY} = \angle\mathrm{YXB}\)이다 [3점].
(2) (10점): 원 밖의 한 점 \(\mathrm{P}\)에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로 \(\overline{\mathrm{ZP}} = \overline{\mathrm{PY}} = x\)라 하자.
\(\triangle\mathrm{APY}\)와 \(\triangle\mathrm{AXB}\)에 각각 사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned} &\frac{\overline{\mathrm{PA}}}{\overline{\mathrm{PY}}} = \frac{\sin\angle\mathrm{PYA}}{\sin\angle\mathrm{PAY}} \quad [1.5\text{점}], \qquad \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BX}}} = \frac{\sin\angle\mathrm{AXB}}{\sin\angle\mathrm{BAX}} \quad [1.5\text{점}] \end{aligned} \] 이때 \(\angle\mathrm{PAY} = \angle\mathrm{BAX}\)이고, (1)에 의해 \(\sin\angle\mathrm{PYA} = \sin(\pi - \angle\mathrm{PYX}) = \sin\angle\mathrm{PYX} = \sin\angle\mathrm{YXB} = \sin\angle\mathrm{AXB}\) [3점]이므로 \[ \begin{aligned} &\frac{3}{x} = \frac{\overline{\mathrm{PA}}}{\overline{\mathrm{PY}}} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BX}}} = \frac{6}{3 - x} \implies 3(3 - x) = 6x \implies x = \overline{\mathrm{ZP}} = \overline{\mathrm{PY}} = 1 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] (3) (16점): 원의 접선의 성질에 의해 \(\overline{\mathrm{ZB}} = 3 - x = 2 = \overline{\mathrm{BX}}\), \(\overline{\mathrm{AZ}} = x + 3 = 4 = \overline{\mathrm{AW}}\), \(\overline{\mathrm{WC}} = 5 - \overline{\mathrm{AW}} = 1 = \overline{\mathrm{XC}}\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2 + 1 = 3\) [3점].
\(\overline{\mathrm{WQ}} = \overline{\mathrm{YQ}} = y\)라 할 때, \(\overline{\mathrm{PQ}} = 1 + y, \ \overline{\mathrm{AQ}} = 4 - y\)이다 [2점].
\(\triangle\mathrm{BAC}\)와 \(\triangle\mathrm{PAQ}\)에 각각 코사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned} &\cos\angle\mathrm{BAC} = \frac{6^2 + 5^2 - 3^2}{2 \times 6 \times 5} = \frac{13}{15} \quad [3\text{점}], \qquad \cos\angle\mathrm{PAQ} = \frac{3^2 + (4 - y)^2 - (1 + y)^2}{2 \times 3 \times (4 - y)} = \frac{12 - 5y}{12 - 3y} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] \(\cos\angle\mathrm{BAC} = \cos\angle\mathrm{PAQ}\)이므로 \(\dfrac{13}{15} = \dfrac{12 - 5y}{12 - 3y}\)에서 \(y = \overline{\mathrm{WQ}} = \dfrac{2}{3}\)이다 [5점].
답: (1) 증명 완료 (2) \(\overline{\mathrm{ZP}} = 1\) 증명 완료 (3) \(\overline{\mathrm{WQ}} = \dfrac{2}{3}\)

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2025학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 2]

2025 공학계열 2번 문항 2 채점 기준 (50점)

【2025학년도 문제 2 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 96p)】

하위문항	채점기준	배점
2-1 (21점)	주어진 세 등식에 \(x = 2, \ 3, \ 4\)를 대입하여 \(f(2) = 4, \ f(3) = 9, \ f(4) = 16\)임을 구하고 \(f(x) = a(x-2)(x-3)(x-4) + x^2\)으로 표현할 수 있는가.	3
	\(\alpha = 4 - \dfrac{1}{a}, \ \beta = 3 - \dfrac{1}{a}, \ \gamma = 2 - \dfrac{1}{a}\)를 각각 구할 수 있는가 (각 3점).	9
	\(\alpha + \beta + \gamma = 24\)를 이용하여 최고차항의 계수 \(a = -\dfrac{1}{5}\)를 구할 수 있는가.	5
	함수 \(f(x)\)를 완성하고 \(f(0) = \dfrac{24}{5}\)의 값을 구할 수 있는가.	4
	※ 미정계수법으로 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)로 두고 연립방정식을 풀어 구한 경우에도 각 단계별 동등 배점 부여
2-2(1) (3점)	접선과 반지름의 수직 성질 및 이등변삼각형의 성질을 이용하여 \(\angle\mathrm{PYX} = \angle\mathrm{YXB}\)임을 보일 수 있는가.	3
2-2(2) (10점)	\(\triangle\mathrm{APY}\)와 \(\triangle\mathrm{AXB}\)에 각각 사인법칙을 적용하여 비례식을 세울 수 있는가 (각 1.5점).	3
	\(\sin\angle\mathrm{PYA} = \sin\angle\mathrm{AXB}\)임을 보일 수 있는가.	3
	비례식 \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{3-x}\)을 풀어 \(\overline{\mathrm{ZP}} = 1\)임을 보일 수 있는가.	4
2-2(3) (16점)	원의 접선의 성질을 이용하여 \(\overline{\mathrm{BC}} = 3\) 및 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 1+y, \ \overline{\mathrm{AQ}} = 4-y\)를 구할 수 있는가.	5
	\(\triangle\mathrm{BAC}\)에서 코사인법칙으로 \(\cos\angle\mathrm{BAC} = \dfrac{13}{15}\)를 구할 수 있는가.	3
	\(\triangle\mathrm{PAQ}\)에서 코사인법칙으로 \(\cos\angle\mathrm{PAQ} = \dfrac{12-5y}{12-3y}\)를 구할 수 있는가.	3
	\(\cos\angle\mathrm{BAC} = \cos\angle\mathrm{PAQ}\)를 풀어 \(\overline{\mathrm{WQ}} = \dfrac{2}{3}\)의 값을 구할 수 있는가.	5

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2024학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2024 공학계열 1번 문항 1-1 ~ 1-5 해설 (50점)

【2024학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1 ~ 1-5) [배점 : 각 10점, 총 50점]

[답안 1-1] (총 10점)

사차함수 \(y = f(x)\)에 대하여 두 방정식 \(f(x) = 0\)과 \(f'(x) = 0\)이 모두 \(20\)과 \(23\)을 근으로 가지므로 \(f(x)\)는 \((x - 20)^2\)과 \((x - 23)^2\)을 인수로 갖는다.
따라서 상수 \(k \ (k \ne 0)\)에 대하여 \(f(x) = k(x - 20)^2(x - 23)^2\)으로 놓을 수 있다 [4점].
\(f(21) = 21\)이므로 \(f(21) = k(21 - 20)^2(21 - 23)^2 = 4k = 21\)에서 \(k = \dfrac{21}{4}\)이다 [3점].
따라서 \(f(x) = \dfrac{21}{4}(x - 20)^2(x - 23)^2\)이므로 \(f(24) = \dfrac{21}{4}(24 - 20)^2(24 - 23)^2 = \dfrac{21}{4} \times 16 \times 1 = 84\)이다 [3점]. 답: \(f(24) = 84\)

[답안 1-2] (총 10점)

\(y = 2^x \ (y > 0)\)으로 치환하면 [1점] 주어진 방정식은 \(y^2 - 2y + 1 - \dfrac{1}{k^2} = 0\), 즉 \((y - 1)^2 = \dfrac{1}{k^2}\)이므로 \(y = 1 \pm \dfrac{1}{k}\)이다 [2점].
\(2^x = 1 \pm \dfrac{1}{k}\)이므로 \(x = \log_2\left(1 \pm \dfrac{1}{k}\right)\)이다 [2점].
따라서 \(\alpha_k + \beta_k = \log_2\left(1 - \dfrac{1}{k}\right) + \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) = \log_2\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \log_2\dfrac{(k - 1)(k + 1)}{k^2}\)이다 [2점].
그러므로 합 \(N\)은 \[ \begin{aligned} &N = \sum_{k=2}^{2024} \log_2\frac{(k - 1)(k + 1)}{k^2} = \log_2\left(\frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdots \frac{2022 \cdot 2024}{2023^2} \cdot \frac{2023 \cdot 2025}{2024^2}\right) = \log_2\left(\frac{2025}{2 \cdot 2024}\right) \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 \(2^N = \dfrac{2025}{4048}\)이다 [1점]. 답: \(2^N = \dfrac{2025}{4048}\)

[답안 1-3] (총 10점)

\(y = k\left(x - \dfrac{1}{k}\right)^2 + k - \dfrac{1}{k} - 3\)이므로 꼭짓점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는 \((x_k, y_k) = \left(\dfrac{1}{k}, \ k - \dfrac{1}{k} - 3\right)\)이다 [3점].
\(0 \lt x_k \lt 1, \ 0 \lt y_k \lt 1\)을 만족해야 하므로 \(0 < \dfrac{1}{k} < 1\)이고 \(0 < k - \dfrac{1}{k} - 3 < 1\)이다 [2점].
\(0 < \dfrac{1}{k} < 1\)에서 \(k > 1\) (①)이다 [1점].
\(0 < k - \dfrac{1}{k} - 3 < 1\)의 각 변에 양수 \(k\)를 곱하면 \(0 < k^2 - 3k - 1 < k\), 즉 \(k^2 - 3k - 1 > 0\)이고 \(k^2 - 4k - 1 < 0\)이다.
이 연립부등식을 풀면 \(k < \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}\) 또는 \(k > \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}\)이고 \(2 - \sqrt{5} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}\) (②)이다 [2점].
①과 ②의 공통범위를 구하면 \(\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}\)이다 [2점]. 답: \(\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}\)

[답안 1-4] (총 10점)

이차방정식이 두 실근을 가지려면 \(D / 4 = (\sin\theta + 1)^2 - \sin^2\theta = 2\sin\theta + 1 \ge 0\)이어야 하므로 \(\sin\theta \ge -\dfrac{1}{2}\)이다 [3점].
근과 계수의 관계에서 \(\alpha + \beta = -2(\sin\theta + 1), \ \alpha\beta = \sin^2\theta\)이므로 \((\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 8\sin\theta + 4\)이다.
\(\alpha \le \beta\)이므로 \(\beta - \alpha = \sqrt{8\sin\theta + 4} \le 2\sqrt{2}\)에서 \(8\sin\theta + 4 \le 8\), 즉 \(\sin\theta \le \dfrac{1}{2}\)이다 [3점].
따라서 \(-\dfrac{1}{2} \le \sin\theta \le \dfrac{1}{2}\)이고 \(0 \le \theta \le 2\pi\)이므로 \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{11\pi}{6} \le \theta \le 2\pi\)이다 [4점].
답: \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}\) 또는 \(\dfrac{5\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{7\pi}{6}\) 또는 \(\dfrac{11\pi}{6} \le \theta \le 2\pi\)

[답안 1-5] (총 10점)

조건 (가)에서 \(a, b, c\)가 등비수열을 이루므로 공비를 \(r \ (r \ne 0)\)라 하면 \(b = ar, \ c = ar^2\)이다 [2점].
조건 (나)에서 \(b, c, d\)가 등차수열을 이루므로 \(d - c = c - b\) [2점]에서 \(d = 2c - b = 2ar^2 - ar = a(2r^2 - r)\)이다 [3점].
따라서 \(\dfrac{d}{a} = 2r^2 - r = 2\left(r - \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}\)이므로 \(r = \dfrac{1}{4}\)일 때 최솟값 \(-\dfrac{1}{8}\)을 갖는다 [3점]. 답: \(-\dfrac{1}{8}\)

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 해설집

2024학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 1]

2024 공학계열 1번 문항 1 채점 기준 (50점)

【2024학년도 문제 1 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 66p)】

하위문항	채점기준	배점
1-1 (10점)	인수정리를 활용하여 \(f(x) = k(x - 20)^2(x - 23)^2\)을 구한 경우	4
	\(f(21) = 21\)을 대입하여 상수 \(k = \dfrac{21}{4}\)의 값을 구한 경우	3
	\(f(24) = 84\)의 값을 구한 경우	3
1-2 (10점)	\(2^x = y\)로 치환한 경우	1
	치환한 이차방정식 \(y^2 - 2y + 1 - \dfrac{1}{k^2} = 0\)의 해 \(y = 1 \pm \dfrac{1}{k}\)를 구한 경우	2
	원래 방정식의 해 \(x = \log_2\left(1 \pm \dfrac{1}{k}\right)\)를 구한 경우	2
	로그의 성질을 이용하여 두 근의 합 \(\alpha_k + \beta_k = \log_2\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}\)을 구한 경우	2
	로그의 성질을 이용하여 \(N = \log_2\left(\dfrac{2025}{2 \cdot 2024}\right)\)를 구한 경우	2
	\(2^N = \dfrac{2025}{4048}\)의 값을 구한 경우	1
1-3 (10점)	이차함수의 꼭짓점의 좌표 \(\left(\dfrac{1}{k}, \ k - \dfrac{1}{k} - 3\right)\)을 구한 경우	3
	꼭짓점의 범위에 관한 연립부등식 \(0 < \dfrac{1}{k} < 1, \ 0 < k - \dfrac{1}{k} - 3 < 1\)을 세운 경우	2
	첫 번째 부등식의 해 \(k > 1\)을 구한 경우	1
	두 번째 부등식의 해 \(k < \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}\) 또는 \(k > \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}\) 및 \(2 - \sqrt{5} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}\)를 구한 경우	2
	연립부등식의 최종 해 \(\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}\)를 구한 경우	2
1-4 (10점)	판별식 \(D / 4 = 2\sin\theta + 1 \ge 0\)을 이용하여 \(\sin\theta \ge -\dfrac{1}{2}\)을 구한 경우	3
	근과 계수의 관계를 이용하여 \(\beta - \alpha = \sqrt{8\sin\theta + 4} \le 2\sqrt{2}\)에서 \(\sin\theta \le \dfrac{1}{2}\)을 구한 경우	3
	삼각부등식을 풀어 \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{11\pi}{6} \le \theta \le 2\pi\)를 구한 경우	4
1-5 (10점)	등비수열의 일반항을 이용하여 \(b = ar, \ c = ar^2\)을 나타낸 경우	2
	등차수열의 성질을 이용하여 \(b, c, d\)의 관계식 \(d - c = c - b\)를 구한 경우	2
	\(d = a(2r^2 - r)\)로 \(d\)를 \(a\)와 \(r\)에 관한 식으로 나타낸 경우	3
	이차함수의 성질을 이용하여 \(\dfrac{d}{a} = 2\left(r - \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}\)의 최솟값 \(-\dfrac{1}{8}\)을 구한 경우	3

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 해설집

2024학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2024 공학계열 2번 문항 2-1 ~ 2-3 해설 (30점)

【2024학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1 ~ 2-3) [배점 : 2-1 (8점) / 2-2 (11점) / 2-3 (11점)]

[답안 2-1] (총 8점)

\(x(t) = t^2\sin t, \ y(t) = t^2\cos t\)를 \(t\)에 대하여 미분하면 \(x'(t) = t(2\sin t + t\cos t), \ y'(t) = t(2\cos t - t\sin t)\)이다 [2점].
\(\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 = t^2(4 + t^2)\)이므로 \(t = 0\)에서 \(t = a \ (a > 0)\)까지 움직인 거리 \(s\)는 \[ \begin{aligned} &s = \int_0^a \sqrt{t^2(2\sin t + t\cos t)^2 + t^2(2\cos t - t\sin t)^2}\,dt = \int_0^a t\sqrt{4 + t^2}\,dt \quad [3\text{점}] \\ &\quad = \left[\frac{1}{3}(t^2 + 4)^{3/2}\right]_0^a = \frac{1}{3}(a^2 + 4)^{3/2} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} \implies (a^2 + 4)^{3/2} = 27 \implies a^2 + 4 = 9 \implies a = \sqrt{5} \quad (\because a > 0) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(a = \sqrt{5}\)

[답안 2-2] (총 11점)

부분적분법에 의하여 \(\displaystyle\int g(x)\,dx = \int ax\sin x\,dx = a(\sin x - x\cos x) + C\)이다 [4점].
구간 \([0, \pi]\)에서 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 교점을 \(\mathrm{P}(x_1, f(x_1))\)이라 하면, \([0, x_1]\)에서는 \(f(x) \ge g(x)\)이고 \([x_1, \pi]\)에서는 \(g(x) \ge f(x)\)이므로 \[ \begin{aligned} &S_1 = \int_0^{x_1} (\cos x - ax\sin x)\,dx = \Big[\sin x - a\sin x + ax\cos x\Big]_0^{x_1} = \sin x_1 - a\sin x_1 + ax_1\cos x_1 \\ &S_2 = \int_{x_1}^\pi (ax\sin x - \cos x)\,dx = \Big[a\sin x - ax\cos x - \sin x\Big]_{x_1}^\pi = a\pi - (a\sin x_1 - ax_1\cos x_1 - \sin x_1) \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 \(S_2 - S_1 = a\pi - 2(a\sin x_1 - ax_1\cos x_1 - \sin x_1)\)이고, 교점 \(x_1\)에서 \(\cos x_1 = ax_1\sin x_1\)이므로 실제로는 정적분의 성질에 의해 바로 \[ \begin{aligned} &S_2 - S_1 = \int_{x_1}^\pi (ax\sin x - \cos x)\,dx - \int_0^{x_1} (\cos x - ax\sin x)\,dx \\ &\quad = \int_0^\pi (ax\sin x - \cos x)\,dx = \Big[a\sin x - ax\cos x - \sin x\Big]_0^\pi = a\pi \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(S_2 - S_1 = a\pi\)

[답안 2-3] (총 11점)

두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 교점을 \(\mathrm{P}(x_1, f(x_1))\)이라 하면 \(e^{x_1} = e^{ax_1 - 1}\)에서 \(x_1 = \dfrac{1}{a - 1}\)이고 \(f(x_1) = e^{\frac{1}{a - 1}}\)이다 [3점].
이때 \(f'(x_1) = e^{x_1} = e^{\frac{1}{a - 1}}\), \(g'(x_1) = ae^{ax_1 - 1} = ae^{\frac{1}{a - 1}}\)이다 [3점].
점 \(\mathrm{P}\)에서의 두 접선이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 \(\beta, \ \alpha \ (\alpha > \beta)\)라 하면 \(\tan\alpha = g'(x_1), \ \tan\beta = f'(x_1)\)이고 \(\angle\mathrm{APB} = \alpha - \beta\)이므로 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여 \[ \begin{aligned} &\tan(\angle\mathrm{APB}) = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{ae^{\frac{1}{a - 1}} - e^{\frac{1}{a - 1}}}{1 + ae^{\frac{2}{a - 1}}} = \frac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] 점 \(\mathrm{P}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 하고 \(\angle\mathrm{APH} = \alpha', \ \angle\mathrm{BPH} = \beta'\)이라 하면 \(\tan\alpha' = \dfrac{1}{f'(x_1)} = \dfrac{1}{e^{x_1}}, \ \tan\beta' = \dfrac{1}{g'(x_1)} = \dfrac{1}{ae^{x_1}}\)이므로 \(\tan(\angle\mathrm{APB}) = \tan(\alpha' - \beta') = \dfrac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1}\)이다.

답: \(\tan(\angle\mathrm{APB}) = \dfrac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1}\)

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2024학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2024 공학계열 2번 문항 2-4 해설 (20점)

【2024학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-4) [배점 : 2-4(1) (4점) / 2-4(2) (16점)]

[답안 2-4] (총 20점) — (1) \(s\)를 \(t\)에 대한 식으로 표현 (4점) / (2) \(\overline{\mathrm{LM}}\)의 최댓값 (16점)

(1) (4점): \(f(x) = x + \dfrac{2}{x}\)에서 \(f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2}\)이므로 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선 \(l\)의 기울기는 \(f'(t) = \dfrac{t^2 - 2}{t^2}\)이다.
\(g(x) = \ln x\)에서 \(g'(x) = \dfrac{1}{x}\)이므로 점 \(\mathrm{Q}(s, g(s))\)에서의 접선 \(m\)의 기울기는 \(g'(s) = \dfrac{1}{s}\)이다.
두 직선 \(l\)과 \(m\)이 서로 평행하므로 \(\dfrac{t^2 - 2}{t^2} = \dfrac{1}{s}\), 즉 \(s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}\)이다 [4점].

(2) (16점): 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선 \(l\)의 방정식은 \[ \begin{aligned} &y = \frac{t^2 - 2}{t^2}(x - t) + t + \frac{2}{t} = \frac{t^2 - 2}{t^2}x + \frac{4}{t} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 점 \(\mathrm{Q}(s, g(s))\)에서의 접선 \(m\)의 방정식은 \(s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}\)를 대입하면 \[ \begin{aligned} &y = \frac{1}{s}(x - s) + \ln s = \frac{1}{s}x - 1 + \ln s = \frac{t^2 - 2}{t^2}x - 1 + \ln\left(\frac{t^2}{t^2 - 2}\right) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 \(\mathrm{L}\left(0, \dfrac{4}{t}\right), \ \mathrm{M}\left(0, -1 + \ln\left(\dfrac{t^2}{t^2 - 2}\right)\right)\)이고, \(t > \sqrt{2}\)에서 점 \(\mathrm{L}\)의 \(y\)좌표가 점 \(\mathrm{M}\)의 \(y\)좌표보다 크므로 \(\overline{\mathrm{LM}} = h(t)\)라 하면 \[ \begin{aligned} &h(t) = \overline{\mathrm{LM}} = \frac{4}{t} + 1 - \ln\left(\frac{t^2}{t^2 - 2}\right) = \frac{4}{t} + 1 - 2\ln t + \ln(t^2 - 2) \quad (t > \sqrt{2}) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] \(h(t)\)를 \(t\)에 대하여 미분하면 \[ \begin{aligned} &h'(t) = -\frac{4}{t^2} - \frac{2}{t} + \frac{2t}{t^2 - 2} = -\frac{4}{t^2} + \frac{4}{t(t^2 - 2)} = \frac{-4t^2 + 4t + 8}{t^2(t^2 - 2)} = \frac{-4(t + 1)(t - 2)}{t^2(t^2 - 2)} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] \(t > \sqrt{2}\)에서 \(h'(t) = 0\)인 \(t\)의 값은 \(t = 2\)이며, \(h(t)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다:

\(t\)	\((\sqrt{2})\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{3}\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(h'(t)\)		\(+\)	\(+\)	\(+\) (증가)	\(0\)	\(-\) (감소)	\(-\)	\(-\)
\(h(t) = \overline{\mathrm{LM}}\)		\(\nearrow\)	\(\frac{3+4\sqrt{3}}{3} - \ln 3\)	\(\nearrow\)	극대 \(3 - \ln 2\)	\(\searrow\)	\(\frac{7}{3} - \ln\frac{9}{7}\)	\(\searrow\)

따라서 \(h(t)\)는 \(t = 2\)에서 극대이자 최대이므로 \(\overline{\mathrm{LM}}\)의 최댓값은 \(h(2) = 2 + 1 - \ln 2 = 3 - \ln 2\)이다 [4점].
답: (1) \(s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}\) (2) \(3 - \ln 2\)

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2024학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 2]

2024 공학계열 2번 문항 2 채점 기준 (50점)

【2024학년도 문제 2 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 73p)】

하위문항	채점기준	배점
2-1 (8점)	매개변수로 나타낸 함수를 미분하여 \(x'(t) = t(2\sin t + t\cos t), \ y'(t) = t(2\cos t - t\sin t)\)를 구한 경우	2
	움직인 거리에 대한 정적분 식 \(s = \displaystyle\int_0^a t\sqrt{4 + t^2}\,dt\)를 세운 경우	3
	정적분을 계산하여 \(a = \sqrt{5}\)의 값을 구한 경우	3
2-2 (11점)	부분적분법을 이용하여 \(\displaystyle\int ax\sin x\,dx = a(\sin x - x\cos x) + C\)를 구한 경우	4
	교점 \(x_1\)을 기준으로 두 도형의 넓이 \(S_1, \ S_2\) (또는 \(S_2 - S_1\)의 정적분 식)를 올바르게 표현한 경우	5
	\(S_2 - S_1 = a\pi\)의 값을 구한 경우	2
2-3 (11점)	두 곡선의 교점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표 \(x_1 = \dfrac{1}{a - 1}\) 및 \(f(x_1) = e^{\frac{1}{a - 1}}\)을 구한 경우	3
	지수함수를 미분하여 두 접선의 기울기 \(f'(x_1) = e^{\frac{1}{a - 1}}, \ g'(x_1) = ae^{\frac{1}{a - 1}}\)를 구한 경우	3
	탄젠트함수의 덧셈정리를 이용하여 \(\tan(\angle\mathrm{APB}) = \dfrac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1}\)을 구한 경우	5
2-4(1) (4점)	두 접선 \(l, m\)의 기울기가 같음을 이용하여 \(\dfrac{t^2 - 2}{t^2} = \dfrac{1}{s}\)로부터 \(s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}\)를 구한 경우	4
2-4(2) (16점)	접선 \(l\)의 방정식 \(y = \dfrac{t^2 - 2}{t^2}x + \dfrac{4}{t}\)를 구한 경우	2
	접선 \(m\)의 방정식 \(y = \dfrac{t^2 - 2}{t^2}x - 1 + \ln\left(\dfrac{t^2}{t^2 - 2}\right)\)을 구한 경우	3
	\(\overline{\mathrm{LM}} = h(t) = \dfrac{4}{t} + 1 - \ln\left(\dfrac{t^2}{t^2 - 2}\right)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타낸 경우	3
	\(h(t)\)를 미분하여 \(h'(t) = \dfrac{-4(t + 1)(t - 2)}{t^2(t^2 - 2)}\)를 구하고 극값을 갖는 \(t = 2\)를 찾은 경우	4
	증감표를 통해 \(t = 2\)에서 극대이자 최대임을 확인하고 최댓값 \(3 - \ln 2\)를 구한 경우	4

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2023학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2023 공학계열 1번 문항 1-1 · 1-2 해설 (20점)

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (10점) / 1-2 (10점)]

[그림] 점 \((0, -n)\)에서 그은 접선

[답안 1-1] (총 10점)

점 \((0, -n)\)과 곡선 \(y = \ln x\) 위의 점 \((a, \ln a)\)를 지나면서 \(y = \ln x\)에 접하는 직선의 기울기는 \(\dfrac{1}{a}\)이므로 접선의 방정식은 \[ \begin{aligned} &y - \ln a = \frac{1}{a}(x - a) \implies y = \frac{1}{a}x + \ln a - 1 \end{aligned} \] 이다. 이 접선의 \(y\)절편이 \(-n\)이므로 \(\ln a - 1 = -n\), 따라서 \(a = \dfrac{1}{e^{n-1}}\)이다 [2점].
접선의 \(x\)절편 \(x_n\)은 \(0 = \dfrac{1}{a}x_n - n = e^{n-1}x_n - n\)에서 \(x_n = \dfrac{n}{e^{n-1}}\)이다 [3점].
따라서 \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{e^{n-1}} \cdot \frac{e^n}{n + 1}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(e \times \frac{n}{n + 1}\right) = e \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(e\)

[답안 1-2] (총 10점) — (1) \(a, \ k\)의 값 (4점) / (2) \(S_1, \ S_2\) (6점)

(1) (4점): 직선 \(y = kx\)가 점 \((a, \ln a)\)에서 곡선 \(y = \ln x\)에 접하므로 \((a, \ln a) = (a, ka)\), 즉 \(\ln a = ka\)이다.
접선의 기울기는 \(\dfrac{1}{a} = k\), 즉 \(ka = 1\)이므로 \(ka = 1 = \ln a\)에서 \(a = e\) [2점]이고 \(k = \dfrac{1}{e}\) [2점]이다.
(2) (6점): 접점의 \(x\)좌표가 \(e\)이므로 영역 \(S_1\)과 \(S_2\)는 다음과 같이 구할 수 있다. \[ \begin{aligned} &S_1 = \int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = 1 \quad [3\text{점}] \\ &S_2 = \int_e^{e^2} \left(\frac{1}{e}x - \ln x\right)dx = \left[\frac{1}{2e}x^2 - x\ln x + x\right]_e^{e^2} = \frac{1}{2}e^3 - e^2 - \frac{1}{2}e \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: (1) \(a = e, \ k = \dfrac{1}{e}\) (2) \(S_1 = 1, \ S_2 = \dfrac{1}{2}e^3 - e^2 - \dfrac{1}{2}e\)

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2023학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2023 공학계열 1번 문항 1-3 · 1-4 해설 (30점)

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3, 1-4) [배점 : 1-3 (15점) / 1-4 (15점)]

[그림] 두 접선과 교점 \(\mathrm{R}\)

[답안 1-3] (총 15점)

\(\angle\mathrm{P_1RP_2} = \theta\)라 하자. 접선 \(\mathrm{P_1R}\)이 \(x\)축과 이루는 예각을 \(\theta_1\), 접선 \(\mathrm{RP_2}\)가 \(x\)축과 이루는 예각을 \(\theta_2\)라 할 때, \(\tan\theta_1\)과 \(\tan\theta_2\)는 각각 접선 \(\mathrm{P_1R}\) 및 접선 \(\mathrm{RP_2}\)의 기울기와 같다.
곡선 \(y = \ln x\)의 \(x_1\)에서의 기울기가 \(\dfrac{1}{x_1}\)이므로 \(\tan\theta_1 = \dfrac{1}{x_1}\) [2점]이고, 같은 방법으로 \(\tan\theta_2 = \dfrac{1}{x_2}\) [2점]이다.
\(\theta = \pi - (\theta_1 - \theta_2)\)이므로 \(\tan\theta = \tan\big(\pi - (\theta_1 - \theta_2)\big) = -\tan(\theta_1 - \theta_2)\) [3점].
탄젠트함수의 덧셈정리에 의해 \(-\tan(\theta_1 - \theta_2) = \dfrac{\tan\theta_2 - \tan\theta_1}{1 + \tan\theta_1\tan\theta_2}\) [3점]이므로 \[ \begin{aligned} &\tan\theta = \frac{\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}}{1 + \frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2 + 1} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(\tan(\angle\mathrm{P_1RP_2}) = \dfrac{x_1 - x_2}{x_1x_2 + 1}\)

[그림] 점 \(\mathrm{P}_n\)과 \(\mathrm{Q}_n\)

[답안 1-4] (총 15점)

함수 \(f(x) = \ln\left(\dfrac{1}{1 - x}\right) = -\ln(1 - x)\)의 도함수는 \(f'(x) = \dfrac{1}{1 - x}\)이다 [3점].
점 \((0, 0)\)에서의 접선은 기울기가 \(f'(0) = 1\)이므로 \(y = x\)이고, 점 \(\mathrm{P}_1\)의 좌표는 \((1, 1)\)이다.
점 \(\mathrm{Q}_1\)은 \(f(x) = -\ln(1 - x) = 1\)인 점이므로 \(x = 1 - e^{-1}\), 즉 \(\mathrm{Q}_1(1 - e^{-1}, 1)\)이다.
점 \(\mathrm{Q}_1\)에서의 접선은 기울기가 \(f'(1 - e^{-1}) = e\)이므로 \(y = ex + (2 - e)\)이고, \(x\)좌표가 \(1\)인 점 \(\mathrm{P}_2\)의 좌표는 \((1, 2)\)이다. 점 \(\mathrm{Q}_2\)는 \(-\ln(1 - x) = 2\)에서 \(\mathrm{Q}_2(1 - e^{-2}, 2)\)이다.
같은 과정을 반복하면 \(\mathrm{P}_n(1, n), \ \mathrm{Q}_n(1 - e^{-n}, n)\)이다 [6점] (하나만 구하면 3점).
즉, \(l_k = 1 - (1 - e^{-k}) = e^{-k}\)이며 이는 첫째항이 \(e^{-1}\)이고 공비가 \(e^{-1}\)인 등비수열이다 [3점].
공비 \(0 < e^{-1} < 1\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} l_k = \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}} = \frac{1}{e - 1}\) [3점].
답: \(\dfrac{1}{e - 1}\)

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 해설집

2023학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 1]

2023 공학계열 1번 문항 1 채점 기준 (50점)

【2023학년도 문제 1 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 24p)】

하위문항	채점기준	배점
1-1 (10점)	접점의 \(x\)좌표 \(a = \dfrac{1}{e^{n-1}}\)을 구한 경우	2
	접선의 \(x\)절편 \(x_n = \dfrac{n}{e^{n-1}}\)을 구한 경우	3
	\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}} = \lim_{n \to \infty}\left(e \times \frac{n}{n+1}\right) = e\)를 구한 경우	5
1-2 (10점)	\(\dfrac{1}{a} = k, \ ka = 1 = \ln a\)로부터 \(a = e\)를 구한 경우	2
	\(\dfrac{1}{a} = k, \ ka = 1 = \ln a\)로부터 \(k = \dfrac{1}{e}\)를 구한 경우	2
	\(S_1 = \displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = 1\)을 구한 경우	3
	\(S_2 = \displaystyle\int_e^{e^2}\left(\frac{1}{e}x - \ln x\right)dx = \frac{1}{2}e^3 - e^2 - \frac{1}{2}e\)를 구한 경우	3
1-3 (15점)	\(\tan\theta_1 = \dfrac{1}{x_1}\)을 구한 경우	2
	\(\tan\theta_2 = \dfrac{1}{x_2}\)를 구한 경우	2
	\(\theta = \pi - (\theta_1 - \theta_2)\)에서 \(\tan\theta = -\tan(\theta_1 - \theta_2) = \dfrac{\tan\theta_2 - \tan\theta_1}{1 + \tan\theta_1\tan\theta_2}\)로 나타낸 경우	6
	\(\tan\theta = \dfrac{x_1 - x_2}{x_1x_2 + 1}\)을 구한 경우	5
1-4 (15점)	\(f'(x) = \dfrac{1}{1 - x}\)을 구한 경우	3
	\(\mathrm{P}_n(1, n), \ \mathrm{Q}_n(1 - e^{-n}, n)\)을 구한 경우 (하나만 구하면 3점)	6
	\(l_k = e^{-k}\)이며 이는 첫째항이 \(e^{-1}\)이고 공비가 \(e^{-1}\)인 등비수열임을 보인 경우	3
	\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} l_k = \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}} = \frac{1}{e - 1}\)을 구한 경우	3

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2023학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2023 공학계열 2번 문항 2-1 ~ 2-4 해설 (50점)

【2023학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1 ~ 2-4) [배점 : 2-1(11점) / 2-2(12점) / 2-3(13점) / 2-4(14점)]

[답안 2-1] (총 11점)

\(x = \cos\theta, \ y = \sin\theta\)라 하면 \[ \begin{aligned} &xy - 2xy^3 = \cos\theta\sin\theta - 2\cos\theta\sin^3\theta = \cos\theta\sin\theta(1 - 2\sin^2\theta) = \cos\theta\sin\theta\cos 2\theta \quad [5\text{점}] \\ &\quad = \frac{1}{2}\sin 2\theta\cos 2\theta = \frac{1}{4}\sin 4\theta \le \frac{1}{4} \quad [6\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(\dfrac{1}{4}\)

[답안 2-2] (총 12점)

두 점 \(\mathrm{A, B}\)를 지나는 직선 \(l\)의 방정식은 \(\beta x + \alpha y - \alpha\beta = 0\) (또는 \(y = -\dfrac{\beta}{\alpha}x + \beta\))이고, \(\alpha + \beta = a, \ \alpha\beta = -32\)이므로 점 \(\mathrm{C}\)와 직선 \(l\) 사이의 거리는 \(\dfrac{|\beta b + \alpha b - \alpha\beta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = \dfrac{|ab + 32|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}\)이다.
선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이가 \(\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}\)이므로 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} \cdot \dfrac{|ab + 32|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = \dfrac{|ab + 32|}{2} = 19\) [7점].
\(ab = -70\) 또는 \(ab = 6\)이고 \(a, b\)는 자연수이므로 \(ab = 6\). 가능한 순서쌍 \((a, b)\)는 \((1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)\)이므로 \(a + b\)의 최솟값은 \(5\)이다 [5점]. 답: \(5\)

[답안 2-3] (총 13점)

\(f'(x) = 9x^2 - 6tx - 4 = 0\)이므로 \(x = \dfrac{t \pm \sqrt{t^2 + 4}}{3}\)에서 극값을 가진다. \(f'(x) = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)\)라 하면 \(\alpha + \beta = \dfrac{2t}{3}, \ \alpha\beta = -\dfrac{4}{9}, \ \alpha - \beta = -\dfrac{2}{3}\sqrt{t^2 + 4}\)이다 [5점]. \[ \begin{aligned} f(\alpha) - f(\beta) &= (3\alpha^2 - 4)(\alpha - t) - (3\beta^2 - 4)(\beta - t) = 3(\alpha^3 - \beta^3) - 4(\alpha - \beta) - 3t(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) \\ &= (\alpha - \beta)\big[3\{(\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta\} - 4\big] + \frac{4}{3}t^2\sqrt{t^2 + 4} \\ &= -\frac{2}{3}\sqrt{t^2 + 4}\left\{3\left(\frac{2}{3}t\right)^2 - 3\left(-\frac{4}{9}\right) - 4\right\} + \frac{4}{3}t^2\sqrt{t^2 + 4} = \frac{4}{9}\sqrt{t^2 + 4}\,(t^2 + 4) \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] \(t^2 \ge 0\)이므로 \(t = 0\)일 때 \(g(t) = f(\alpha) - f(\beta) \ge \dfrac{4}{9}\sqrt{4} \cdot 4 = \dfrac{32}{9}\) [3점]. 답: \(\dfrac{32}{9}\)

[답안 2-4] (총 14점)

\(f'(t) = 1 - \dfrac{1}{1 - t} = -\dfrac{t}{1 - t}\) [2점]이므로 직선 \(l\): \(y = -\dfrac{t}{1 - t}(x - t) + t + \ln(1 - t)\) [2점], 직선 \(m\): \(y = \dfrac{1 - t}{t}(x - t) + t + \ln(1 - t)\) [2점].
\(x = 0\)을 대입하면 \(g(t) = -\dfrac{t}{1 - t}(-t) + t + \ln(1 - t)\) [2점], \(h(t) = \dfrac{1 - t}{t}(-t) + t + \ln(1 - t)\) [2점]. \[ \begin{aligned} g(t) - h(t) &= \frac{t^2}{1 - t} + 1 - t = -2t + \frac{1}{1 - t} \quad [2\text{점}] \\ &= 2(1 - t) + \frac{1}{1 - t} - 2 \ge 2\sqrt{2} - 2 \quad (0 \lt t \lt 1, \ \text{산술·기하평균}) \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(2\sqrt{2} - 2\)

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2023학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 2]

2023 공학계열 2번 문항 2 채점 기준 (50점)

【2023학년도 문제 2 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 31p)】

하위문항	채점기준	배점
2-1 (11점)	삼각함수의 정의를 이해하고 덧셈정리를 활용할 수 있다. (\(xy - 2xy^3 = \cos\theta\sin\theta\cos 2\theta\))	5
2-1 (11점)	삼각함수의 덧셈정리를 활용할 수 있다. (\(\dfrac{1}{4}\sin 4\theta \le \dfrac{1}{4}\))	6
2-2 (12점)	점과 직선 사이의 거리를 활용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. (\(\dfrac{\|ab + 32\|}{2} = 19\))	7
2-2 (12점)	소인수 분해를 통해 자연수 근을 구할 수 있다. (\(ab = 6\), 최솟값 \(5\))	5
2-3 (13점)	극댓값과 극솟값을 구할 수 있다.	5
	연산을 통해 식을 정리할 수 있다. (\(g(t) = \dfrac{4}{9}\sqrt{t^2 + 4}\,(t^2 + 4)\))	5
	실수의 성질을 통해 최솟값을 구할 수 있다. (\(\dfrac{32}{9}\))	3
2-4 (14점)	함수를 미분할 수 있다.	2
	접선의 방정식을 구할 수 있다.	2
	접선에 수직인 직선의 방정식을 구할 수 있다.	2
	직선의 \(y\)절편을 구할 수 있다. (\(g(t)\))	2
	직선의 \(y\)절편을 구할 수 있다. (\(h(t)\))	2
	식을 간단히 정리할 수 있다.	2
	식의 최솟값을 구할 수 있다. (\(2\sqrt{2} - 2\))	2

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2022학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2022 공학계열 1번 문항 1-1 · 1-2 · 1-3 해설 (37점)

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2, 1-3) [배점 : 1-1 (12점) / 1-2 (12점) / 1-3 (13점)]

[그림] 점 \(\mathrm{A}_n\)과 \(y = x\)

[답안 1-1] (총 12점)

점 \(\mathrm{A}_n\)에서 \(x\)축까지의 거리와 \(y\)축까지의 거리가 같으므로, \(\mathrm{A}_n\)은 \(f_n(x) = \dfrac{x + 3n^2 + n}{x - 2n}\)의 그래프와 직선 \(y = x\)의 교점이다 [4점].
\(\dfrac{x + 3n^2 + n}{x - 2n} = x\)에서 \(x^2 - (2n + 1)x - n(3n + 1) = 0\), 즉 \((x + n)\big(x - (3n + 1)\big) = 0\)이다.
\(x > 2n\)이므로 \(x = 3n + 1\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{A}_n\)의 좌표는 \((3n + 1, \ 3n + 1)\)이고, \(d_n = 3n + 1\)이다 [4점]. \[ \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{5} d_n = \sum_{n=1}^{5} (3n + 1) = \frac{3 \times 5 \times 6}{2} + 5 = 45 + 5 = 50 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(50\)

[답안 1-2] (총 12점)

\(a_n = h(n) = \dfrac{30}{2n - 15} + n - \dfrac{15}{2}\)에 \(n = 1, 2, \cdots, 15\)를 차례대로 대입하면 \[ \begin{aligned} &a_1 = h(1) = -\frac{30}{13} - \frac{13}{2}, \quad a_2 = h(2) = -\frac{30}{11} - \frac{11}{2}, \quad a_3 = h(3) = -\frac{30}{9} - \frac{9}{2}, \ \cdots, \ a_7 = h(7) = -\frac{30}{1} - \frac{1}{2}, \\ &a_8 = h(8) = \frac{30}{1} + \frac{1}{2}, \ \cdots, \ a_{12} = h(12) = \frac{30}{9} + \frac{9}{2}, \quad a_{13} = h(13) = \frac{30}{11} + \frac{11}{2}, \quad a_{14} = h(14) = \frac{30}{13} + \frac{13}{2}, \\ &a_{15} = h(15) = 2 + \frac{15}{2} = \frac{19}{2} \end{aligned} \] 이때 \(a_1 + a_{14} = 0, \ a_2 + a_{13} = 0, \ a_3 + a_{12} = 0, \ \cdots, \ a_7 + a_8 = 0\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{14} a_n = 0\)을 만족한다 [8점].
따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{15} a_n = \sum_{n=1}^{14} a_n + a_{15} = 0 + \frac{19}{2} = \frac{19}{2}\) [4점]. 답: \(\dfrac{19}{2}\)

[그림] 직선 \(\mathrm{AB}\)와 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)

[답안 1-3] (총 13점)

두 점 \(\mathrm{A}(-1, 2), \ \mathrm{B}\left(a, \dfrac{3a - 1}{a - 1}\right) \ (a > 1)\)을 지나는 직선의 기울기는 \(\dfrac{\frac{3a - 1}{a - 1} - 2}{a + 1} = \dfrac{1}{a - 1}\)이므로 두 점 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)를 지나는 직선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{a - 1}(x + 1) + 2\)이다 [3점].
이때 이 직선의 \(x\)절편, \(y\)절편은 각각 \(-2a + 1, \ \dfrac{2a - 1}{a - 1}\)이므로 \(\mathrm{P}(-2a + 1, 0), \ \mathrm{Q}\left(0, \dfrac{2a - 1}{a - 1}\right)\)이고, 수선의 발은 \(\mathrm{A}'(-1, 0), \ \mathrm{B}'\left(0, \dfrac{3a - 1}{a - 1}\right)\)이다.
따라서 \(\overline{\mathrm{AA}'} = 2, \ \overline{\mathrm{A}'\mathrm{P}} = -1 - (-2a + 1) = 2a - 2, \ \overline{\mathrm{BB}'} = a, \ \overline{\mathrm{B}'\mathrm{Q}} = \dfrac{3a - 1}{a - 1} - \dfrac{2a - 1}{a - 1} = \dfrac{a}{a - 1}\)이므로 \[ \begin{aligned} &S_1 = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AA}'} \times \overline{\mathrm{A}'\mathrm{P}} = \frac{1}{2} \times 2 \times (2a - 2) = 2a - 2 \ \ [3\text{점}], \quad S_2 = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BB}'} \times \overline{\mathrm{B}'\mathrm{Q}} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{a - 1} = \frac{a^2}{2a - 2} \ \ [3\text{점}] \\ &\lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1} = \lim_{a \to \infty} \frac{\frac{a^2}{2a - 2}}{2a - 2} = \lim_{a \to \infty} \frac{a^2}{4(a - 1)^2} = \lim_{a \to \infty} \frac{a^2}{4a^2 - 8a + 4} = \lim_{a \to \infty} \frac{1}{4 - \frac{8}{a} + \frac{4}{a^2}} = \frac{1}{4} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 답: \(\dfrac{1}{4}\)

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2022학년도 공학계열 [7. 예시 답안 (1-4) 및 6. 채점 기준]

2022 공학계열 1번 문항 1-4 해설 및 채점 기준 (50점)

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 (문제 1-4) 및 6. 채점 기준 [배점 : 1-4 (13점) / 문제 1 전체 50점]

[그림] 두 직선 \(l, m\)과 삼각형

[답안 1-4] (총 13점)

점 \(\mathrm{P}(1, 2)\)는 곡선 \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}\)의 두 점근선의 교점이므로 \(\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}\)이다.
\(\angle\mathrm{BPC} = \alpha, \ \angle\mathrm{APD} = \beta\)라고 할 때, \(\angle\mathrm{BPC}\)와 \(\angle\mathrm{APD}\)는 맞꼭지각이므로 \(\alpha = \beta\)이다 [4점].
\(S_1 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BP}} \times \overline{\mathrm{CP}} \times \sin\alpha\)이고, \(S_2 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AP}} \times \overline{\mathrm{DP}} \times \sin\alpha\)이다.
\(\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}\)이므로 \(S_1 : S_2 = \overline{\mathrm{CP}} : \overline{\mathrm{DP}}\)이다. 따라서 \(2S_1 = S_2\)이려면 \(2\overline{\mathrm{CP}} = \overline{\mathrm{DP}}\)이어야 한다 [5점].
점 \(\mathrm{P}\)와 점 \(\mathrm{C}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{P}', \ \mathrm{C}'\)이라 할 때, 두 삼각형 \(\mathrm{DP}'\mathrm{P}, \ \mathrm{DC}'\mathrm{C}\)는 닮음이고 \(\overline{\mathrm{DP}} : \overline{\mathrm{DC}} = 2 : 3\)이므로 \(\overline{\mathrm{PP}'} : \overline{\mathrm{CC}'} = 2 : 3\)이다.
점 \(\mathrm{P}\)의 \(y\)좌표는 \(2\)이므로 점 \(\mathrm{C}\)의 \(y\)좌표는 \(3\)이다. \(3 = \dfrac{2x - 1}{x - 1}\)을 풀면 \(x = 2\)이므로 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 \((2, 3)\)이다.
따라서 두 점 \(\mathrm{P}(1, 2)\)와 \(\mathrm{C}(2, 3)\)을 지나는 직선 \(m\)의 방정식은 \(y = x + 1\)이다 [4점].
답: \(y = x + 1\)

【2022학년도 문제 1 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 25p)】

하위문항	채점기준	배점
1-1	함수의 개념을 이해하고 조건을 만족하는 함수를 표현할 수 있다.	4
	조건을 만족시키는 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.	4
	등차수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 구할 수 있다.	4
1-2	함수의 변화에서 규칙성 찾고, 그 변화를 수열로 표현할 수 있다.	8
1-2	\(\sum\)의 뜻을 알고, 그 성질을 활용하여 주어진 문제를 풀 수 있다.	4
1-3	주어진 조건을 만족시키는 직선의 방정식을 표현할 수 있다.	3
	좌표를 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있다.	6
	함수의 극한 개념을 이해하고 극한값을 구할 수 있다.	4
1-4	유리함수에서 점근선의 성질을 이해할 수 있다.	4
	삼각형 닮음을 이용할 수 있다.	5
	조건을 만족시키는 직선의 방정식을 구할 수 있다.	4

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2022학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2022 공학계열 2번 문항 2-1 · 2-2 해설 (25점)

【2022학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (15점) / 2-2 (10점)]

[답안 2-1] (총 15점)

\(f(x) = x\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(x - \sqrt{3}) = x^3 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2 + \dfrac{3}{2}x\)이므로 방정식 \(f(x) = 0\)의 세 근은 \(0, \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ \sqrt{3}\)이다.
두 부분의 넓이 \(S_1, \ S_2\)가 같기 위해서는 \(\displaystyle\int_0^{\alpha} \big(f(x) - \beta\big)\,dx = 0\)이어야 한다 [5점].
이를 적분하여 계산하면 \(\dfrac{\alpha^4}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \dfrac{3}{4}\alpha^2 - \alpha\beta = 0\)이다 [3점].
점 \((\alpha, \beta)\)가 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점이므로 \(\beta = \alpha^3 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^2 + \dfrac{3}{2}\alpha\)를 대입하면 \[ \begin{aligned} \frac{\alpha^4}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \frac{3}{4}\alpha^2 - \alpha\left(\alpha^3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^2 + \frac{3}{2}\alpha\right) &= \frac{\alpha^4}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \frac{3}{4}\alpha^2 - \alpha^4 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^3 - \frac{3}{2}\alpha^2 \\ &= -\frac{3}{4}\alpha^2\left(\alpha^2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}\alpha + 1\right) = -\frac{3}{4}\alpha^2\left(\alpha - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)(\alpha - \sqrt{3}) = 0 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] \(\alpha = 0, \ \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \sqrt{3}\) 중에서 세 근의 위치 \(\left(0 < \alpha < \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)를 고려하면 \(\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \beta = \dfrac{\sqrt{3}}{9}\)이다 [3점].
답: \(\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \beta = \dfrac{\sqrt{3}}{9}\)

[답안 2-2] (총 10점)

로그의 성질에 의하여 정적분을 계산하면 \[ \begin{aligned} f(x) &= \int_x^{2x} (\ln x + \ln t)\,dt = \ln x \Big[t\Big]_x^{2x} + \Big[t\ln t - t\Big]_x^{2x} \\ &= x\ln x + 2x\ln(2x) - 2x - (x\ln x - x) = 2x\ln(2x) - x \end{aligned} \] 이를 미분하면 \(f'(x) = 2\ln(2x) + 2x \times \dfrac{2}{2x} - 1 = 2\ln(2x) + 1\)이다 [4점].
\(x = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}\)에서 \(f'(x) = 0\)이며 구간 \((0, 1]\)에서 \(f(x)\)의 증감표는 다음과 같다 [4점].

\(x\)	\((0)\)	\(\cdots\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\)	\(\cdots\)	\(1\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)
\(f(x)\)		\(\searrow\)	극소	\(\nearrow\)	\(f(1)\)

따라서 \(f(x)\)는 \(x = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}\)일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 \(f\left(\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\right) = -\dfrac{1}{2\sqrt{e}} - \dfrac{1}{2\sqrt{e}} = -\dfrac{1}{\sqrt{e}}\)이다 [2점].
답: \(-\dfrac{1}{\sqrt{e}}\)

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2022학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2022 공학계열 2번 문항 2-3 · 2-4 해설 (25점)

【2022학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-3, 2-4) [배점 : 2-3 (15점) / 2-4 (10점)]

[답안 2-3] (총 15점)

\(f'(x) = 3x^2 - 9x + 6 = 3(x - 1)(x - 2)\)이므로 \(x = 1, \ x = 2\)일 때 \(f'(x) = 0\)이다 [2점].
\(f(x)\)의 증감상태를 조사하면 다음 표와 같다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	극대	\(\searrow\)	극소	\(\nearrow\)

따라서 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 세 실근이 존재하려면 \(f(1) > 0, \ f(2) < 0\)이어야 하며, 사잇값 정리에 의해 \(1\)과 \(2\) 사이에 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 존재한다 \(\cdots\cdots \text{①}\) [3점].
\(f(1) = \dfrac{5}{2} - abc > 0\)이므로 \(abc < \dfrac{5}{2}\)이고, \(f(2) = 2 - abc < 0\)이므로 \(abc > 2\)이다 [2점].
따라서 \(f(0) = -abc < -2 < 0\)이고 \(f(1) > 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(0\)과 \(1\) 사이에 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 존재한다 \(\cdots\cdots \text{②}\) [3점].
또한 \(f(3) = \dfrac{9}{2} - abc > 2 > 0\)이고 \(f(2) < 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(2\)와 \(3\) 사이에 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 존재한다 \(\cdots\cdots \text{③}\) [3점].
방정식 \(f(x) = 0\)의 세 실근 \(a, \ b, \ c\)는 \(a \lt b \lt c\)이므로 ①, ②, ③에 의해 \(0 \lt a \lt 1 \lt b \lt 2 \lt c \lt 3\), 즉 \(a > 0, \ c < 3\)이다 [2점].
답: 풀이 참조 (\(a > 0, \ c < 3\) 증명 완료)

[답안 2-4] (총 10점)

제시문 다)를 이용하면 정적분의 구간을 다음과 같이 나눌 수 있다 [3점]. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx \] 제시문 라)를 이용하여 \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx\)를 \(x = -t\)로 치환하여 계산하면 [4점] \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(t^{2022})}{1 + 2022^{-t}}\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2022^t\sin(t^{2022})}{2022^t + 1}\,dt \] 이므로 두 정적분을 합하면 다음과 같이 성립한다 [3점]. \[ \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2022^x\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + 2022^x)\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x^{2022})\,dx \end{aligned} \] 답: 풀이 참조 (등식 증명 완료)

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2022학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 2]

2022 공학계열 2번 문항 2 채점 기준 (50점)

【2022학년도 문제 2 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 36p)】

하위문항	채점기준	배점
2-1	적분 \(\displaystyle\int_0^{\alpha} (f(x) - \beta)\,dx = 0\)을 활용하여 넓이와 적분의 개념을 적용한다.	5
	적분을 하여 방정식 \(\dfrac{\alpha^4}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \dfrac{3}{4}\alpha^2 - \alpha\beta = 0\)을 만들 수 있다.	3
	\(\beta = \alpha^3 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^2 + \dfrac{3}{2}\alpha\)를 이용하여 방정식을 다음과 같이 인수분해 할 수 있다. \(\dfrac{\alpha^4}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \dfrac{3}{4}\alpha^2 - \alpha\left(\alpha^3 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^2 + \dfrac{3}{2}\alpha\right) = -\dfrac{3}{4}\alpha^2\left(\alpha^2 - \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\alpha + 1\right) = -\dfrac{3}{4}\alpha^2\left(\alpha - \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(\alpha - \sqrt{3}) = 0\)	4
	세 근의 크기를 고려하여 \(\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \beta = \dfrac{\sqrt{3}}{9}\)를 구할 수 있다.	3
2-2	로그 함수를 적분하고, 적분 결과로 나온 함수를 미분할 수 있다.	4
	극솟값을 구하기 위해서 그래프의 개형을 사용할 수 있다. \(x = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}\)에서 \(f'(x) = 0\)이다. [증감표: \(x \in (0, 1]\)에서 \(x = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}\) 좌우 부호 \(- \to 0 \to +\), \(f(x)\) 감소 \(\searrow\) 극소 \(\nearrow f(1)\)]	4
	값을 대입하여 최솟값을 계산할 수 있다.	2
2-3	미분과 간단한 인수분해를 통해서 극대, 극소의 위치를 찾을 수 있다.	2
	그래프의 개형을 구하고, 사잇값 정리를 적용하여 서로 다른 세 실수의 존재를 찾을 수 있다.	3
	부등식의 결과 \(abc < \dfrac{5}{2}\)와 \(abc > 2\)를 구할 수 있다.	2
	사잇값의 정리에 의해 실근의 존재 범위 \(0\)과 \(1\) 사이를 구할 수 있다.	3
	사잇값의 정리에 의해 실근의 존재 범위 \(2\)와 \(3\) 사이를 구할 수 있다.	3
	세 실근의 대소관계를 이용하여 요구하는 부등식을 정리할 수 있다.	2
2-4	제시문과 문제의 조건을 사용하여 정적분의 구간을 나눌 수 있다.	3
	제시문과 치환을 통해서 정적분을 변형할 수 있다.	4
	정적분의 계산을 하지 않고 간단한 연산을 통해서 피적분 함수를 정리할 수 있다.	3

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2021학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2021 공학계열 1번 문항 1-1 · 1-2 · 1-3 해설 (28점)

【2021학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2, 1-3) [배점 : 1-1 (5점) / 1-2 (10점) / 1-3 (13점)]

[문제 1-1] 이동 경로

[답안 1-1] (총 5점)

동전을 \(3\)번 던질 때, 이동하는 모든 방법의 수는 \(2^3 = 8\)이다 [2점].
오른쪽 위로 원의 둘레의 \(\dfrac{1}{4}\)만큼 가장 가까운 점으로 이동하는 것을 \(a\), 오른쪽 아래로 원의 둘레의 \(\dfrac{1}{4}\)만큼 가장 가까운 점으로 이동하는 것을 \(b\)라 하자.
점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{A}\)에 도착하는 방법의 수는 \(2\)개의 \(a\)와 \(1\)개의 \(b\)를 일렬로 배열하는 수 \(\dfrac{3!}{2! \times 1!} = 3\)과 같으므로 점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{A}\)에 도착할 확률은 \(\dfrac{3}{8}\)이다 [3점]. 답: \(\dfrac{3}{8}\)

[문제 1-2] \(\mathrm{T}_1 \sim \mathrm{T}_6\)과 \(\triangle\mathrm{O}_2\mathrm{T}_2\mathrm{T}_5\)

[답안 1-2] (총 10점)

그림과 같이 동전을 \(5\)번 던져서 도착할 수 있는 점을 위에서부터 차례로 \(\mathrm{T}_1, \ \mathrm{T}_2, \ \mathrm{T}_3, \ \mathrm{T}_4, \ \mathrm{T}_5, \ \mathrm{T}_6\)이라 하자. 점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하여 \(5\)번의 동전을 던질 때, 이동하는 모든 방법의 수는 \(2^5 = 32\)이다.
(i) 점 \(\mathrm{T}_1\)에 도착하는 경우의 수는 \(5\)개의 문자 \(a, a, a, a, a\)를 일렬로 나열하는 경우의 수 \(\dfrac{5!}{5!} = 1\)이고, 같은 방법으로 점 \(\mathrm{T}_6\)으로 이동하는 경우의 수도 \(1\)이다. 따라서 두 점 \(\mathrm{T}_1, \ \mathrm{T}_6\)에 도착할 확률은 각각 \(\dfrac{1}{32}\)이다.
(ii) 점 \(\mathrm{T}_2\)로 이동하는 경우의 수는 \(5\)개의 문자 \(a, a, a, a, b\)를 일렬로 나열하는 경우의 수 \(\dfrac{5!}{4! \times 1!} = 5\)이고, 같은 방법으로 점 \(\mathrm{T}_5\)로 이동하는 경우의 수도 \(5\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{T}_2, \ \mathrm{T}_5\)에 도착할 확률은 각각 \(\dfrac{5}{32}\)이다.
(iii) 점 \(\mathrm{T}_3\)으로 이동하는 경우의 수는 \(5\)개의 문자 \(a, a, a, b, b\)를 일렬로 나열하는 경우의 수 \(\dfrac{5!}{3! \times 2!} = 10\)이고, 같은 방법으로 점 \(\mathrm{T}_4\)로 이동하는 경우의 수도 \(10\)이다. 따라서 두 점 \(\mathrm{T}_3, \ \mathrm{T}_4\)에 도착할 확률은 각각 \(\dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}\)이다.
(i), (ii), (iii)에서 \(\dfrac{5}{32}\)의 확률로 도착하는 두 점은 \(\mathrm{T}_2, \ \mathrm{T}_5\)이다. 원 \(K\)의 지름이 \(2\)이므로 구하는 선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이는 \(6\)이다 [8점].
위의 그림에서 삼각형 \(\mathrm{O}_2\mathrm{BC}\)는 밑변의 길이가 \(6\)이고, 높이는 \(5\)인 이등변삼각형이므로 구하는 삼각형 \(\mathrm{O}_2\mathrm{BC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15\)이다 [2점]. 답: \(\overline{\mathrm{BC}} = 6\), 넓이 \(= 15\)

[문제 1-3] \(\mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{M}\) 경로

[답안 1-3] (총 13점)

점 \(\mathrm{O}_1\)에서 출발하고 동전을 \(4\)번 던져서 점 \(\mathrm{D}\)에 도착하기 위해서는 그림의 점 \(\mathrm{I}\)를 반드시 지나야 하고, 점 \(\mathrm{I}\)에 도착하기 위해서는 점 \(\mathrm{H}\) 또는 점 \(\mathrm{J}\)를 지나야 한다. 점 \(\mathrm{H}\)에 도착한 후에는 반드시 점 \(\mathrm{I}\)에 도착한다.
\(\mathrm{O}_1 \to \mathrm{H} \to \mathrm{I}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{2}\)이고, \(\mathrm{O}_1 \to \mathrm{J} \to \mathrm{I}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{4}\)이므로 점 \(\mathrm{O}_1\)에서 출발하고 점 \(\mathrm{I}\)에 도착할 확률은 \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)이고, 점 \(\mathrm{I}\)에서 점 \(\mathrm{D}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{4}\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{O}_1\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{D}\)에 도착할 확률 \(\mathrm{P}(D) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}\)이다 [5점].
점 \(\mathrm{O}_1\)을 출발하여 점 \(\mathrm{E}\)에 도착하기 위해서는 점 \(\mathrm{I}\) 또는 점 \(\mathrm{M}\)을 지나야 한다. 점 \(\mathrm{I}\)에서 점 \(\mathrm{E}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{2}\)이므로 \(\mathrm{O}_1 \to \mathrm{I} \to \mathrm{E}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}\)이다. 한편, 점 \(\mathrm{M}\)에 도착한 후에는 반드시 동전의 앞면이 나와야 점 \(\mathrm{E}\)에 도착하므로 \(\mathrm{O}_1 \to \mathrm{M} \to \mathrm{E}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}\)이다.
따라서 \(\mathrm{P}(E) = \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{7}{16}\) [5점]이고, \(\dfrac{\mathrm{P}(D)}{\mathrm{P}(E)} = \dfrac{\frac{3}{16}}{\frac{7}{16}} = \dfrac{3}{7}\)이다 [3점]. 답: \(\dfrac{3}{7}\)

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2021학년도 공학계열 [7. 예시 답안 (1-4, 1-5) 및 6. 채점 기준]

2021 공학계열 1번 문항 1-4 · 1-5 해설 및 채점 기준 (50점)

【2021학년도 문제 1】 7. 예시 답안 (문제 1-4, 1-5) 및 6. 채점 기준 [배점 : 1-4 (12점) / 1-5 (10점) / 문제 1 전체 50점]

[문제 1-4] \(\mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{F}\) 경로

[답안 1-4] (총 12점)

점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하는 사건을 \(O_2\), 점 \(\mathrm{O}_3\)에서 출발하는 사건을 \(O_3\)이라 하면 \(\mathrm{P}(O_2) = \dfrac{1}{2}, \ \mathrm{P}(O_3) = \dfrac{1}{2}\)이다.
점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{F}\)에 도착하기 위해서는 점 \(\mathrm{N}\) 또는 점 \(\mathrm{P}\)를 지나야 한다.
점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{N}\)에 도착한 후에는 반드시 점 \(\mathrm{F}\)에 도착하므로 \(\mathrm{O}_2 \to \mathrm{N} \to \mathrm{F}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{2^5} = \dfrac{1}{32}\)이다.
점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{P}\)에 도착할 확률은 \(\dfrac{5}{2^5}\)이고, 점 \(\mathrm{P}\)에 도착한 후에는 반드시 동전의 앞면이 나와야 점 \(\mathrm{F}\)에 도착하므로 \(\mathrm{O}_2 \to \mathrm{P} \to \mathrm{F}\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{5}{2^5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{64}\)이다.
따라서 \(\mathrm{P}(O_2 \cap F) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{32} + \dfrac{5}{64}\right) = \dfrac{7}{128}\)이다 [5점].
한편, 점 \(\mathrm{O}_3\)에서 출발하여 점 \(\mathrm{F}\)에 도착하는 경우의 수는 \(6\)개의 문자 \(a, a, a, a, a, a\)를 일렬로 나열하는 경우의 수 \(1\)과 같고, \(6\)번의 동전을 던질 때 이동하는 모든 방법의 수는 \(2^6 = 64\)이므로 \(\mathrm{P}(O_3 \cap F) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{128}\)이다 [5점].
따라서 \(\mathrm{P}(F) = \mathrm{P}(O_2 \cap F) + \mathrm{P}(O_3 \cap F) = \dfrac{7}{128} + \dfrac{1}{128} = \dfrac{8}{128} = \dfrac{1}{16}\)이고, 구하는 조건부확률은 \(\mathrm{P}(O_3 \mid F) = \dfrac{\mathrm{P}(O_3 \cap F)}{\mathrm{P}(F)} = \dfrac{\frac{1}{128}}{\frac{1}{16}} = \dfrac{1}{8}\)이다 [2점]. 답: \(\dfrac{1}{8}\)

[답안 1-5] (총 10점)

동전을 \(2\)번 던졌을 때 점 \(\mathrm{G}_1\)에 도착할 확률은 \(\dfrac{2!}{1! \times 1!} \times \dfrac{1}{2^2}\)이고, 동전을 \(4\)번 던졌을 때 점 \(\mathrm{G}_2\)에 도착할 확률은 \(\dfrac{4!}{2! \times 2!} \times \dfrac{1}{2^4}\)이다.
같은 방법으로 동전을 \(2n\)번 던졌을 때 점 \(\mathrm{G}_n\)에 도착할 확률 \(\mathrm{P}(G_n)\)은 \(\mathrm{P}(G_n) = \dfrac{(2n)!}{n! \times n!} \times \dfrac{1}{2^{2n}}\)이다 [4점].
따라서 \(\mathrm{P}(G_7) = \dfrac{14!}{7! \times 7!} \times \dfrac{1}{2^{14}}\)이고 \(\mathrm{P}(G_8) = \dfrac{16!}{8! \times 8!} \times \dfrac{1}{2^{16}}\)이다 [3점].
그러므로 \(\dfrac{\mathrm{P}(G_7)}{\mathrm{P}(G_8)} = \dfrac{\frac{14!}{7! \times 7!} \times \frac{1}{2^{14}}}{\frac{16!}{8! \times 8!} \times \frac{1}{2^{16}}} = \dfrac{8 \times 8 \times 4}{16 \times 15} = \dfrac{16}{15}\)이다 [3점]. 답: \(\dfrac{16}{15}\)

【2021학년도 문제 1 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 24p)】

하위문항	채점기준	배점
1-1 (5점)	같은 것이 있는 순열의 수를 수학적 확률로 변환할 수 있다 (\(\text{모든 방법의 수 } 2^3 = 8\)).	2
1-1 (5점)	확률의 기본 성질을 정리하여 점 \(\mathrm{A}\)에 도착할 확률 \(\dfrac{3}{8}\)을 구할 수 있다.	3
1-2 (10점)	같은 것이 있는 순열의 수를 수학적 확률로 변환하고, 두 점 \(\mathrm{B}(\mathrm{T}_2), \ \mathrm{C}(\mathrm{T}_5)\) 사이의 길이 \(\overline{\mathrm{BC}} = 6\)을 구할 수 있다.	8
1-2 (10점)	주어진 조건에 따른 삼각형 \(\mathrm{O}_2\mathrm{BC}\)의 넓이 \(15\)를 구할 수 있다.	2
1-3 (13점)	주어진 조건을 이해하고, 점 \(\mathrm{O}_1\)을 출발하여 점 \(\mathrm{D}\)에 도착할 확률 \(\mathrm{P}(D) = \dfrac{3}{16}\)을 구할 수 있다.	5
	주어진 조건을 이해하고, 점 \(\mathrm{O}_1\)을 출발하여 점 \(\mathrm{E}\)에 도착할 확률 \(\mathrm{P}(E) = \dfrac{7}{16}\)을 구할 수 있다.	5
	수학적 확률의 의미를 이해하고 \(\dfrac{\mathrm{P}(D)}{\mathrm{P}(E)} = \dfrac{3}{7}\)을 구할 수 있다.	3
1-4 (12점)	주어진 조건을 조건부확률로 변환하여 \(\mathrm{P}(O_2 \cap F) = \dfrac{7}{128}\)을 식으로 표현할 수 있다.	5
	주어진 조건을 조건부확률로 변환하여 \(\mathrm{P}(O_3 \cap F) = \dfrac{1}{128}\)을 식으로 표현할 수 있다.	5
	수학적 확률의 의미를 이해하고 \(\mathrm{P}(O_3 \mid F) = \dfrac{1}{8}\)을 구할 수 있다.	2
1-5 (10점)	같은 것이 있는 순열의 수를 수학적 확률로 변환하여 \(\mathrm{P}(G_n) = \dfrac{(2n)!}{n! \times n!} \times \dfrac{1}{2^{2n}}\)을 구할 수 있다.	4
	확률의 기본 성질을 정리하여 \(\mathrm{P}(G_7), \ \mathrm{P}(G_8)\)을 구할 수 있다.	3
	수학적 확률의 의미를 이해하고 \(\dfrac{\mathrm{P}(G_7)}{\mathrm{P}(G_8)} = \dfrac{16}{15}\)를 구할 수 있다.	3

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 해설집

2021학년도 공학계열 [7. 예시 답안 및 6. 채점 기준]

2021 공학계열 2번 문항 2-1 · 2-2 해설 (50점)

【2021학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (20점) / 2-2 (30점)]

[문제 2-1] 기하적 관계

[답안 2-1] (총 20점) — (1) 10점 / (2) 5점 / (3) 5점

(1) (10점): 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\theta = 45^\circ\)일 때, \(\angle\mathrm{A} = 90^\circ - \theta = 45^\circ, \ \angle\mathrm{B} = 90^\circ + 30^\circ - 45^\circ = 75^\circ, \ \angle\mathrm{C} = 60^\circ\)이다 [3점].
사인법칙에 의하여 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 60^\circ} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\overline{\mathrm{AB}}\)이고, \(\sin 75^\circ = \sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin 30^\circ\cos 45^\circ + \cos 30^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)이다 [3점].
따라서 \(\overline{\mathrm{AC}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 60^\circ}\sin 75^\circ = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{3}\) [2점], \(\overline{\mathrm{BC}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 60^\circ}\sin 45^\circ = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 2\)이다 [2점].
(2) (5점): \(\overline{\mathrm{AB}}\sin\theta = \overline{\mathrm{PB}}\sin 60^\circ\)이므로 \(\overline{\mathrm{PB}} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}\overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \sqrt{6} = 2\)이고, \(\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AH}} - \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AB}}\cos\theta - \overline{\mathrm{PB}}\cos 60^\circ = \sqrt{3} - 1\)이다 [3점].
따라서 삼각형 \(\mathrm{APB}\)의 넓이 \(S\)는 \(S = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AP}} \times \sin 45^\circ = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{6} \times (\sqrt{3} - 1) \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}\)이다 [2점].
(3) (5점): 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = 2R\)에서 \(R = \dfrac{1}{2}\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \sqrt{6} = \sqrt{2}\)이다 [2점].
선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이(\(\sqrt{6}\))와 \(\angle\mathrm{C} = 60^\circ\)가 \(0 \le \theta \le 60^\circ\)인 모든 \(\theta\)에 대하여 일정한 값을 가지므로 외접원의 반지름의 길이 \(R = \sqrt{2}\)는 일정하다 [3점].
답: (1) \(\overline{\mathrm{AC}} = 1 + \sqrt{3}, \ \overline{\mathrm{BC}} = 2\) (2) \(S = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}\) (3) \(R = \sqrt{2}\)로 일정 (풀이 참조)

[문제 2-2] \(\mathrm{C}_1, \mathrm{C}_2, \mathrm{C}_3\)

[답안 2-2] (총 30점) — (1) 10점 / (2) 10점 / (3) 5점 / (4) 5점

(1) (10점):
i) \(\theta = 0^\circ\)일 때, \(\angle\mathrm{OPC}_1 = 45^\circ\)이므로 \(\overline{\mathrm{OC}_1} = \overline{\mathrm{OP}} = 10, \ x_1 = 0, \ y_1 = \overline{\mathrm{OC}_1} = 10\)에서 \(\mathrm{C}_1(0, 10)\)이다 [3점].
ii) \(\theta = 30^\circ\)일 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}_2\)에서 \(\angle\mathrm{A} = 90^\circ - \theta = 60^\circ, \ \angle\mathrm{B} = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ, \ \angle\mathrm{C}_2 = 45^\circ\)이고 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AC}_2}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 45^\circ} = 10\sqrt{2}\)이므로 \(\overline{\mathrm{AC}_2} = 10\sqrt{2}\sin 75^\circ = 10\sqrt{2} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 5(1 + \sqrt{3})\)이다.
또한 \(\overline{\mathrm{AB}}\sin\theta = \overline{\mathrm{PB}}\sin 45^\circ\)에서 \(\overline{\mathrm{PB}} = \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 10 = 5\sqrt{2}\)이고, \(\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AH}} - \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AB}}\cos 30^\circ - \overline{\mathrm{PB}}\cos 45^\circ = 5\sqrt{3} - 5\)이다.
따라서 \(x_2 = \overline{\mathrm{OP}} - \overline{\mathrm{AP}} = 10 - (5\sqrt{3} - 5) = 5(3 - \sqrt{3}), \ y_2 = \overline{\mathrm{AC}_2} = 5(1 + \sqrt{3})\)이므로 \(\mathrm{C}_2\big(5(3 - \sqrt{3}), \ 5(1 + \sqrt{3})\big)\)이다 [4점].
iii) \(\theta = 45^\circ\)일 때, \(\angle\mathrm{C}_3\mathrm{PQ} = 45^\circ\)이므로 \(\overline{\mathrm{PC}_3} = \dfrac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\cos 45^\circ} = 10\sqrt{2}\)이고 \(x_3 = \overline{\mathrm{OP}} = 10, \ y_3 = \overline{\mathrm{PC}_3} = 10\sqrt{2}\)에서 \(\mathrm{C}_3(10, 10\sqrt{2})\)이다 [3점].
(2) (10점): \(f(x) = ax^2 + bx + c\)에 \(\mathrm{C}_1(0, 10)\)을 대입하면 \(f(0) = c = 10\)이다 [3점]. 두 점 \(\mathrm{X}(6, 14), \ \mathrm{Y}(10, 14)\)를 대입하면 \(36a + 6b + c = 14, \ 100a + 10b + c = 14\)에서 \(18a + 3b = 2, \ 50a + 5b = 2\)이다 [3점]. 연립방정식을 풀면 \(a = -\dfrac{1}{15}, \ b = \dfrac{16}{15}\) [4점]이므로 \(a + b + c = -\dfrac{1}{15} + \dfrac{16}{15} + 10 = 11\)이다.
(3) (5점): \(f'(x) = 2ax + b\)이므로 \(\mathrm{C}_1(0, 10)\)에서의 접선의 기울기는 \(m = f'(0) = b = \dfrac{16}{15}\)이고 [3점], \(y\)절편 \(n = 10\)이므로 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{16}{15}x + 10\)이다 [2점].
(4) (5점): 구하는 넓이는 \(S = \displaystyle\int_0^{10} (ax^2 + bx + c)\,dx\) [2점] \(= \left[\dfrac{1}{3}ax^3 + \dfrac{1}{2}bx^2 + cx\right]_0^{10} = -\dfrac{1000}{45} + \dfrac{1600}{30} + 100 = \dfrac{1180}{9}\)이다 [3점].
답: (1) \(\mathrm{C}_1(0, 10), \ \mathrm{C}_2\big(5(3 - \sqrt{3}), 5(1 + \sqrt{3})\big), \ \mathrm{C}_3(10, 10\sqrt{2})\) (2) \(11\) (3) \(y = \dfrac{16}{15}x + 10\) (4) \(\dfrac{1180}{9}\)

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2021학년도 공학계열 [6. 채점 기준 — 문제 2]

2021 공학계열 2번 문항 2 채점 기준 (50점)

【2021학년도 문제 2 채점 기준 (6. 채점 기준 원문 - 33p)】

하위문항	채점기준	배점
2-1(1) (10점)	좌표평면에서 각 점 사이의 기하적 관계를 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내각(\(\angle\mathrm{A} = 45^\circ, \ \angle\mathrm{B} = 75^\circ, \ \angle\mathrm{C} = 60^\circ\))을 구한다.	3
	삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 \(\sin 75^\circ = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)의 값을 계산한다.	3
	사인법칙을 이용하여 두 선분의 길이 \(\overline{\mathrm{AC}} = 1 + \sqrt{3}, \ \overline{\mathrm{BC}} = 2\)를 각각 계산한다 (각 2점).	4
2-1(2) (5점)	각 점 사이의 기하적 관계를 이용하여 선분 \(\mathrm{AP}\)의 길이 \(\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{3} - 1\)을 구한다.	3
2-1(2) (5점)	삼각형의 넓이 공식을 활용하여 삼각형 \(\mathrm{APB}\)의 넓이 \(S = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}\)를 계산한다.	2
2-1(3) (5점)	사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\) 외접원의 반지름 \(R = \sqrt{2}\)를 계산한다.	2
2-1(3) (5점)	선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이와 \(\angle\mathrm{C}\)가 \(\theta\)에 무관하게 일정하므로 외접원의 반지름의 길이가 일정하다는 것을 설명한다.	3
2-2(1) (10점)	삼각형 \(\mathrm{OPC}_1\)에서 \(\mathrm{C}_1(0, 10)\)의 좌표를 구한다.	3
	삼각형 \(\mathrm{ABC}_2\)에서 \(\mathrm{C}_2\big(5(3 - \sqrt{3}), \ 5(1 + \sqrt{3})\big)\)의 좌표를 구한다.	4
	삼각형 \(\mathrm{PQC}_3\)에서 \(\mathrm{C}_3(10, 10\sqrt{2})\)의 좌표를 구한다.	3
2-2(2) (10점)	\(y = ax^2 + bx + c\)에 \(\mathrm{C}_1(0, 10)\)의 좌표를 대입하여 절편 \(c = 10\)을 구한다.	3
	\(y = ax^2 + bx + c\)에 좌표 \(\mathrm{X}(6, 14), \ \mathrm{Y}(10, 14)\)를 각각 대입하여 연립방정식 \(18a + 3b = 2, \ 50a + 5b = 2\)를 만든다.	3
	연립방정식의 해 \(a = -\dfrac{1}{15}, \ b = \dfrac{16}{15}\)를 구하고 \(a + b + c = 11\)을 구한다.	4
2-2(3) (5점)	\(\mathrm{C}_1(0, 10)\)에서의 접선의 기울기 \(m = f'(0) = b = \dfrac{16}{15}\)를 구한다.	3
2-2(3) (5점)	접선의 방정식 \(y = mx + n\)에 \(\mathrm{C}_1(0, 10)\)을 대입하여 \(y\)절편 \(n = 10\) 및 접선의 방정식 \(y = \dfrac{16}{15}x + 10\)을 구한다.	2
2-2(4) (5점)	곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이에 대한 정적분 식 \(S = \displaystyle\int_0^{10} (ax^2 + bx + c)\,dx\)를 세운다.	2
2-2(4) (5점)	정적분 값을 계산하여 \(S = \dfrac{1180}{9}\)를 구한다.	3

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【2020학년도 공학계열 문제 1】 예시답안 (1/3)

2020 공학계열 1번 배점 50점

7. 예시 답안 ([문제 1-1] ~ [문제 1-2])

【문제 1-1】 예시답안 (10점) • 자동차 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)의 속도 3점
제시문 가)의 (식 1-1)에 의해 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)의 시각 \(t\)에서의 속도는 다음과 같다. \[ v_{\mathrm{A}}(t) = \int_0^t 10\,dt + v_{\mathrm{A}}(0) = 10t - 1, \qquad v_{\mathrm{B}}(t) = \int_0^t (6t - 10)\,dt + v_{\mathrm{B}}(0) = 3t^2 - 10t \] • 자동차 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)의 위치 3점
\(x_{\mathrm{B}}(0) = 0, \ x_{\mathrm{A}}(0) = 10\)으로 놓으면 제시문 가)의 (식 1-2)에 의해 시각 \(t\)에서의 위치는 다음과 같다. \[ x_{\mathrm{A}}(t) = \int_0^t (10t - 1)\,dt + x_{\mathrm{A}}(0) = 5t^2 - t + 10, \qquad x_{\mathrm{B}}(t) = \int_0^t (3t^2 - 10t)\,dt + x_{\mathrm{B}}(0) = t^3 - 5t^2 \] • 자동차 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)가 같은 위치를 갖는 시각 4점
\(x_{\mathrm{A}}(t) = x_{\mathrm{B}}(t)\)에서 \(t^3 - 10t^2 + t - 10 = 0 \implies (t - 10)(t^2 + 1) = 0\)이므로 구하는 시각은 \(t = 10\)이다.

\[ \therefore \ \text{같은 위치에 놓이는 시각: } t = 10 \]

【문제 1-2】 1) 예시답안 (8점) • 속도 벡터 성분 4점
\(y = x^2 - 6x + 9\)에서 합성함수의 미분법에 의해 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 벡터는 다음과 같다. \[ \vec{v} = (v_x, v_y) = \left(\dfrac{dx}{dt}, \ \dfrac{dy}{dt}\right) = \left(\dfrac{dx}{dt}, \ \dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\right) = \left(\dfrac{dx}{dt}, \ (2x - 6)\dfrac{dx}{dt}\right) \] \(x = 3.5\)에서 \(2x - 6 = 1\)이므로 \(\vec{v} = (x', x')\)이다. 속도의 크기 \(|\vec{v}| = \sqrt{(x')^2 + (x')^2} = 1\)에서 \(x' = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 속도 벡터 성분은 \(\vec{v} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\) 및 \(\vec{v} = \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)이다.
• 속도 벡터가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도 \(\alpha\) 4점
\(\tan\alpha = \dfrac{v_y}{v_x} = 1 \ (0^\circ \le \alpha < 360^\circ)\)이므로 \(\alpha = 45^\circ\) 및 \(\alpha = 225^\circ\)이다.

\[ \therefore \ \vec{v} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), \ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), \qquad \alpha = 45^\circ, \ 225^\circ \]

【문제 1-2】 2) 예시답안 (7점) • 가속도 벡터 성분 4점
속도 벡터를 한 번 더 미분하면 가속도 벡터는 \(\vec{a} = (a_x, a_y) = \left(\dfrac{d^2 x}{dt^2}, \ \dfrac{d^2 y}{dt^2}\right) = (x'', \ 2(x')^2 + (2x - 6)x'')\)이다.
\(x = 3.5\)에서 \(x' = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \(2(x')^2 = 1\)이 되어 \(\vec{a} = (x'', \ x'' + 1)\)이다. 가속도의 크기 \(|\vec{a}| = \sqrt{(x'')^2 + (x'' + 1)^2} = 1\)에서 \(x''(x'' + 1) = 0\)이므로 \(x'' = 0\) 또는 \(x'' = -1\)이다. 따라서 가속도 벡터 성분은 \(\vec{a} = (0, 1)\) 및 \(\vec{a} = (-1, 0)\)이다.
• 가속도 벡터가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도 \(\beta\) 3점
\(\vec{a} = (0, 1)\)일 때 \(\beta = 90^\circ\), \(\vec{a} = (-1, 0)\)일 때 \(\beta = 180^\circ\)이다.

\[ \therefore \ \vec{a} = (0, 1), \ (-1, 0), \qquad \beta = 90^\circ, \ 180^\circ \]

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【2020학년도 공학계열 문제 1】 예시답안 (2/3)

2020 공학계열 1번 배점 50점

7. 예시 답안 ([문제 1-3] 1) ~ 4))

【문제 1-3】 1), 2) 예시답안 (10점) • 1) \(\mathrm{A}\) 지점에서 \(\mathrm{B}\) 지점까지의 직선 거리 \(L\) (5점): \(\mathrm{B}\) 지점에 도달할 때 \(y(t) = (v_0\sin\theta)t - 5t^2 = 0\)에서 \(t = \dfrac{v_0\sin\theta}{5} = 10\sqrt{2}\) 2점
수평거리 \(L = x(t) = (v_0\cos\theta)t = \dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{5}\)에 \(v_0 = 100, \ \theta = 45^\circ\)를 대입하면 \(L = 1000\)이다. 3점
• 2) 속도 벡터가 \(30^\circ\)를 이루는 시각에서의 \(y\) 좌표 (5점): \(\vec{v} = (v_0\cos\theta, \ v_0\sin\theta - 10t)\)에서 \(\tan 30^\circ = \dfrac{v_0\sin\theta - 10t}{v_0\cos\theta} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)이므로 \(\theta = 45^\circ\)를 대입하면 시각 \(t_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{20}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)v_0 = 5\sqrt{2}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)이다. 2점
이를 \(y(t_1)\)에 대입하여 정리하면 \(h = y(t_1) = \dfrac{1}{20}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}\right)\left(1 - \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}}\right)v_0^2 = \dfrac{1}{60}v_0^2\)이므로 \(v_0 = 100\)일 때 \(y(t_1) = \dfrac{500}{3} \ (\approx 167)\)이다. 3점

\[ \therefore \ \text{1) } L = 1000, \qquad \text{2) } y(t_1) = \dfrac{500}{3} \]

【문제 1-3】 3) 예시답안 (5점) • 포물선의 이차함수 유도 2점: 좌표 \((x(t), y(t)) = ((v_0\cos\theta)t, \ (v_0\sin\theta)t - 5t^2)\)에서 매개변수 \(t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}\)를 소거하면 \(y = (\tan\theta)x - \left(\dfrac{5}{v_0^2\cos^2\theta}\right)x^2 = ax - bx^2\) \(\left(\text{단, } a = \tan\theta, \ b = \dfrac{5}{v_0^2\cos^2\theta}\right)\)이다.
• 포물선과 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이 \(A\) 3점: 정적분으로 넓이 \(A\)를 구하고 \(L = \dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{5}\)을 대입하면 \[ A = \int_0^L y\,dx = \int_0^L (ax - bx^2)\,dx = \dfrac{1}{2}aL^2 - \dfrac{1}{3}bL^3 = \dfrac{1}{150}v_0^4\sin^3\theta\cos\theta \] 여기에 \(v_0 = 100, \ \theta = 45^\circ\)를 대입하면 \(A = \dfrac{1}{6}\times 10^6 = \dfrac{5}{3}\times 10^5 \ (\approx 166667)\)이다.

\[ \therefore \ A(v_0, \theta) = \dfrac{1}{150}v_0^4\sin^3\theta\cos\theta, \qquad v_0 = 100, \ \theta = 45^\circ\text{일 때 } A = \dfrac{5}{3}\times 10^5 \]

【문제 1-3】 4) 예시답안 (10점) • 발사 각도 \(\theta\)에 대한 넓이 함수 유도 5점: 3)번에서 구한 일반식에 \(v_0 = 100\)을 대입하면 \(A(\theta) = \dfrac{1}{150}v_0^4\sin^3\theta\cos\theta = \dfrac{10^7}{15}\sin^3\theta\cos\theta\)이다.
• 넓이가 최대가 되는 발사 각도 \(\theta\) 5점: \(A(\theta)\)를 발사 각도 \(\theta\)에 대하여 미분하여 \(\dfrac{dA}{d\theta} = 0\)을 만족하는 \(\theta\)를 구하면 \[ \dfrac{dA}{d\theta} = \dfrac{v_0^4}{150}\left(3\sin^2\theta\cos^2\theta - \sin^4\theta\right) = \dfrac{v_0^4}{150}\sin^2\theta\left(3 - 4\sin^2\theta\right) = 0 \] \(0^\circ < \theta < 90^\circ\)에서 \(\sin\theta > 0\)이므로 \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)일 때 극대이자 최대가 된다. 따라서 \(\theta = 60^\circ\)이다.

\[ \therefore \ \text{넓이가 최대가 되는 발사 각도: } \theta = 60^\circ \]

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【2020학년도 공학계열 문제 1】 채점기준표 (3/3)

2020 공학계열 1번 배점 50점

6. 채점 기준 (배점 50점)

하위 문항	채점 기준	배점
문제 1-1 (10점)	제시문 가)를 활용하여 자동차 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 속도 식 \(v_{\mathrm{A}}(t) = 10t - 1\), \(v_{\mathrm{B}}(t) = 3t^2 - 10t\)를 구한다.	3점
	제시문 가)를 활용하여 자동차 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 위치 식 \(x_{\mathrm{A}}(t) = 5t^2 - t + 10\), \(x_{\mathrm{B}}(t) = t^3 - 5t^2\)을 구한다.	3점
	\(x_{\mathrm{A}}(t) = x_{\mathrm{B}}(t)\) 조건을 3차방정식으로 정리하고 인수분해하여 시각 \(t = 10\)을 구한다.	4점
문제 1-2 1) (8점)	\(\vec{v} = (x', (2x-6)x')\)에서 \(\|\vec{v}\| = 1\)과 \(x = 3.5\)를 대입하여 속도 벡터 성분 \(\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \ \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)를 구한다.	4점
문제 1-2 1) (8점)	\(\tan\alpha = \dfrac{v_y}{v_x}\) 식에 의해 속도 벡터가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도 \(\alpha = 45^\circ, \ 225^\circ\)를 구한다.	4점
문제 1-2 2) (7점)	\(\vec{a} = (x'', 2(x')^2 + (2x-6)x'')\)에서 \(\|\vec{a}\| = 1\)과 \(x = 3.5\)를 대입하여 가속도 벡터 성분 \((0, 1), \ (-1, 0)\)을 구한다.	4점
문제 1-2 2) (7점)	가속도 벡터가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도 \(\beta = 90^\circ, \ 180^\circ\)를 구한다.	3점
문제 1-3 1) (5점)	\(y(t) = (v_0\sin\theta)t - 5t^2 = 0\) 조건에서 점 \(\mathrm{Q}\)가 \(\mathrm{B}\) 지점에 도달하는 시각 \(t = 10\sqrt{2}\)를 구한다.	2점
문제 1-3 1) (5점)	\(L = x(t) = (v_0\cos\theta)t\)에 시각 \(t\)를 대입하여 수평거리 \(L = 1000\)을 구한다.	3점
문제 1-3 2) (5점)	\(\tan\phi = \dfrac{v_0\sin\theta - 10t}{v_0\cos\theta} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)에서 \(\phi = 30^\circ, \ \theta = 45^\circ\)를 만족하는 시각 \(t_1 = 5\sqrt{2}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)을 구한다.	2점
문제 1-3 2) (5점)	\(y(t)\)에 시각 \(t_1\)을 대입하여 점 \(\mathrm{Q}\)의 \(y\) 좌표 \(h = \dfrac{500}{3}\)을 구한다.	3점
문제 1-3 3) (5점)	매개변수 \(t\)를 소거하여 포물선의 이차함수 \(y = (\tan\theta)x - \left(\dfrac{5}{v_0^2\cos^2\theta}\right)x^2\)을 유도한다.	2점
문제 1-3 3) (5점)	정적분 \(A = \displaystyle\int_0^L y\,dx\)를 계산하여 \(A = \dfrac{1}{150}v_0^4\sin^3\theta\cos\theta\) 및 \(A = \dfrac{5}{3}\times 10^5\)을 구한다.	3점
문제 1-3 4) (10점)	포물선과 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 발사 각도 \(\theta\)의 함수 \(A(\theta) = \dfrac{1}{150}v_0^4\sin^3\theta\cos\theta\)로 구한다.	5점
문제 1-3 4) (10점)	넓이를 발사 각도 \(\theta\)에 대하여 미분하여 \(\dfrac{dA}{d\theta} = 0\)을 만족하는 발사 각도 \(\theta = 60^\circ\)를 구한다.	5점

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【2020학년도 공학계열 문제 2】 예시답안 (1/3)

2020 공학계열 2번 배점 50점

7. 예시 답안 ([문제 2-1] 1), 2))

【문제 2-1】 1) 예시답안 (5점) \(-1 \le x \le 1\) 범위에서 \(g_1(x) = a|x| + b\)로 표현되며, \(g_1(-x) = g_1(x)\)를 만족하므로 \(\{g_1(-x)\}^2 = \{g_1(x)\}^2\)이다.
제시문의 (식 2-4)에 의해 \(P_1\)은 다음과 같이 표현된다. 2점 \[ P_1 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} (a|x| + b)^2\,dx = \int_0^1 (ax + b)^2\,dx \] 정적분을 계산하면 다음과 같다. 3점 \[ P_1 = \int_0^1 (a^2 x^2 + 2abx + b^2)\,dx = \dfrac{a^2}{3} + ab + b^2 \qquad \cdots\cdots \text{(1-1)} \]

\[ \therefore \ P_1 = \dfrac{a^2}{3} + ab + b^2 \]

【문제 2-1】 2) 예시답안 (15점) 정의에 의해 \(P_2 = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1} \{g_1(x) - g_2(x)\}^2\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} \left[\{g_1(x)\}^2 + \{g_2(x)\}^2 - 2g_1(x)g_2(x)\right]dx\)이다.
\(g_1(-x) = g_1(x), \ g_2(-x) = g_2(x)\)로부터 \(\{g_2(-x)\}^2 = \{g_2(x)\}^2, \ g_1(-x)g_2(-x) = g_1(x)g_2(x)\)가 성립한다. 조건 \(P_1 = \dfrac{1}{3}b^2\)과 (식 2-4)를 이용하여 \(P_2\)의 각 항을 계산하면 다음과 같다. 7점 \[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} \{g_1(x)\}^2\,dx = P_1 = \dfrac{b^2}{3}, \qquad A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} \{g_2(x)\}^2\,dx = \int_0^1 x^4\,dx = \dfrac{1}{5} \] \[ A_3 = -\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} 2g_1(x)g_2(x)\,dx = -2\int_0^1 (ax^3 + bx^2)\,dx = -\dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{3}b \] \[ \implies P_2 = A_1 + A_2 + A_3 = \dfrac{b^2}{3} - \dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{3}b + \dfrac{1}{5} \qquad \cdots\cdots \text{(1-3)} \] \(P_1 = \dfrac{a^2}{3} + ab + b^2 = \dfrac{b^2}{3}\)에서 \(\dfrac{1}{3}(a^2 + 3ab + 2b^2) = \dfrac{1}{3}(a + b)(a + 2b) = 0\)이므로 \(a = -b\) 또는 \(a = -2b\)이다. 3점
• A) \(a = -2b\)인 경우: 식 (1-3)에 \(a = -2b\)를 대입하면 \(P_2 = \dfrac{b^2}{3} + \dfrac{b}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{3}\left(b + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{60}\)이므로 \(b = -\dfrac{1}{2}\)일 때 최솟값 \(\dfrac{7}{60}\)을 갖는다.
• B) \(a = -b\)인 경우: 식 (1-3)에 \(a = -b\)를 대입하면 \(P_2 = \dfrac{b^2}{3} - \dfrac{1}{6}b + \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{3}\left(b - \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{43}{240}\)이므로 \(b = \dfrac{1}{4}\)일 때 최솟값 \(\dfrac{43}{240}\)을 갖는다.
위의 A), B)에서 \(\dfrac{7}{60} = \dfrac{28}{240} < \dfrac{43}{240}\)이므로 \(a = 1, \ b = -\dfrac{1}{2}\)일 때 \(P_2\)는 최솟값 \(\dfrac{7}{60}\)을 갖는다. 5점

\[ \therefore \ a = 1, \quad b = -\dfrac{1}{2}, \qquad P_2\text{의 최솟값} = \dfrac{7}{60} \]

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【2020학년도 공학계열 문제 2】 예시답안 (2/3)

2020 공학계열 2번 배점 50점

7. 예시 답안 ([문제 2-2] 1), 2) ~ [문제 2-3])

【문제 2-2】 1), 2) 예시답안 (20점) • 1) 정적분 \(R\)을 \(c\)에 대한 식으로 나타내기 (15점): \(-2 \le x \le 2\)에서 \(h_2(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 2}{3} & (-2 \le x < 1) \\ -x + 2 & (1 \le x \le 2) \end{cases}\)이므로 구간을 나누어 적분하고 부분적분법을 적용한다. 5점 + 5점 \[ R = \dfrac{1}{4}\left[\int_{-2}^{1} \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}(x - c)\right)\dfrac{x + 2}{3}\,dx + \int_1^2 \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}(x - c)\right)(-x + 2)\,dx\right] \] \[ = \dfrac{1}{4}\left\{-\dfrac{2}{\pi}\left[\dfrac{x + 2}{3}\cos\dfrac{\pi}{2}(x - c)\right]_{-2}^{1} + \dfrac{2}{3\pi}\int_{-2}^{1} \cos\dfrac{\pi}{2}(x - c)\,dx\right\} \] \[ \quad + \dfrac{1}{4}\left\{\dfrac{2}{\pi}\left[(x - 2)\cos\dfrac{\pi}{2}(x - c)\right]_1^2 - \dfrac{2}{\pi}\int_1^2 \cos\dfrac{\pi}{2}(x - c)\,dx\right\} \] \[ = \dfrac{1}{3\pi^2}\left\{\sin\dfrac{\pi}{2}(1 - c) - \sin\dfrac{\pi}{2}(-2 - c)\right\} - \dfrac{1}{\pi^2}\left\{\sin\dfrac{\pi}{2}(2 - c) - \sin\dfrac{\pi}{2}(1 - c)\right\} \] 사인함수와 코사인함수의 관계로 정리하면 \(R = \dfrac{4}{3\pi^2}\left(\cos\dfrac{\pi c}{2} - \sin\dfrac{\pi c}{2}\right)\)이다. \(\cdots\) (2-3) 5점
• 2) \(R\)이 최대가 되는 \(c\)의 값과 최댓값 (5점): 식 (2-3)에 삼각함수의 합성을 적용하면 \(R = \dfrac{4\sqrt{2}}{3\pi^2}\sin\!\left(\dfrac{\pi c}{2} + \dfrac{3\pi}{4}\right)\)이고 3점, \(-2 < c < 2\)에서 \(c = -\dfrac{1}{2}\)일 때 최댓값 \(\dfrac{4\sqrt{2}}{3\pi^2}\)를 갖는다. 2점

\[ \therefore \ \text{1) } R = \dfrac{4}{3\pi^2}\left(\cos\dfrac{\pi c}{2} - \sin\dfrac{\pi c}{2}\right), \qquad \text{2) } c = -\dfrac{1}{2}, \quad R_{\max} = \dfrac{4\sqrt{2}}{3\pi^2} \]

【문제 2-3】 예시답안 (10점)

[문제 2-3] 대칭점 \(\mathrm{D}\)와 교점 \(\mathrm{C}\)

직선 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)에 대하여 점 \(\mathrm{A}(-1, 0)\)을 대칭이동시킨 점을 \(\mathrm{D}(x_0, y_0)\)라 하면 직선 \(\mathrm{AD}\)는 \(y = 2(x + 1)\)이므로 \(y_0 = 2(x_0 + 1)\) \(\cdots\) (3-1)이다.
선분 \(\mathrm{AD}\)의 중점 \(\mathrm{G}\!\left(\dfrac{x_0 - 1}{2}, \ \dfrac{y_0}{2}\right)\)는 직선 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\) 위의 점이므로 \(\dfrac{y_0}{2} = -\dfrac{1}{4}(x_0 - 1) + 3\) \(\cdots\) (3-2)이다. (3-1)과 (3-2)를 연립하면 \(\mathrm{D}\!\left(\dfrac{9}{5}, \ \dfrac{28}{5}\right)\)이다. 5점
따라서 \(s\)의 최솟값은 \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{\left(\dfrac{4}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{28}{5}\right)^2} = \dfrac{2\sqrt{200}}{5} = 4\sqrt{2}\)이다. 2점
직선 \(\mathrm{BD}\)의 방정식 \(y = 7(x - 1)\)과 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)의 교점을 구하면 \(\mathrm{C}\!\left(\dfrac{4}{3}, \ \dfrac{7}{3}\right)\)이다. 3점

\[ \therefore \ \mathrm{C}\!\left(\dfrac{4}{3}, \ \dfrac{7}{3}\right), \qquad s\text{의 최솟값} = 4\sqrt{2} \]

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 해설집

【2020학년도 공학계열 문제 2】 채점기준표 (3/3)

2020 공학계열 2번 배점 50점

6. 채점 기준 (배점 50점)

하위 문항	채점 기준	배점
문제 2-1 1) (5점)	주기함수를 이해하여 절댓값을 포함하는 함수 \(g_1(x) = a\|x\| + b\) 및 우함수 정적분으로 표현할 수 있다.	2점
문제 2-1 1) (5점)	이차함수의 정적분을 계산하여 \(P_1 = \dfrac{a^2}{3} + ab + b^2\)을 구할 수 있다.	3점
문제 2-1 2) (15점)	다항식의 사칙연산을 이용하여 정적분을 계산하고 \(P_2 = \dfrac{b^2}{3} - \dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{3}b + \dfrac{1}{5}\)로 간단히 나타낼 수 있다.	7점
	이차다항식 \(a^2 + 3ab + 2b^2 = 0\)을 인수분해하여 \(a = -b\) 또는 \(a = -2b\)를 구할 수 있다.	3점
	두 경우에 대해 이차함수의 최솟값을 비교하여 \(a = 1, \ b = -\dfrac{1}{2}\) 및 최솟값 \(\dfrac{7}{60}\)을 구할 수 있다.	5점
문제 2-2 1) (15점)	구간 \([-2, 1)\)과 \([1, 2]\)로 나누어 \(h_2(x)\)를 일차함수로 표현하고 정적분으로 나타낼 수 있다.	5점
	부분적분법을 이용해서 정적분을 계산할 수 있다.	5점
	사인함수와 코사인함수의 관계를 이해하고 \(R = \dfrac{4}{3\pi^2}\left(\cos\dfrac{\pi c}{2} - \sin\dfrac{\pi c}{2}\right)\)로 간단히 나타낼 수 있다.	5점
문제 2-2 2) (5점)	삼각함수 합성을 이용하여 \(R = \dfrac{4\sqrt{2}}{3\pi^2}\sin\!\left(\dfrac{\pi c}{2} + \dfrac{3\pi}{4}\right)\)로 간단히 나타낼 수 있다.	3점
문제 2-2 2) (5점)	삼각함수의 최댓값 \(\dfrac{4\sqrt{2}}{3\pi^2}\)와 최대가 되는 \(c = -\dfrac{1}{2}\)을 찾을 수 있다.	2점
문제 2-3 (10점)	주어진 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하고, 직선에 대칭인 점 \(\mathrm{D}\!\left(\dfrac{9}{5}, \ \dfrac{28}{5}\right)\)를 구할 수 있다.	5점
	평면좌표에서 두 점 \(\mathrm{B}, \ \mathrm{D}\) 사이의 거리를 이용하여 \(s\)의 최솟값 \(4\sqrt{2}\)를 구할 수 있다.	2점
	두 직선 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)과 \(y = 7(x - 1)\)의 교점 \(\mathrm{C}\!\left(\dfrac{4}{3}, \ \dfrac{7}{3}\right)\)를 구할 수 있다.	3점